東北大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1)

$n$ が $k$-連続和であるとは、ある自然数 $m$ によって $$n=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1)$$ と表されることである。右辺を整理すると $${\displaystyle n=km+\frac{k(k-1)}{2}}$$ である。したがって $${\displaystyle m=\frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}}$$ である。

$m$ が整数であることは、条件(A)そのものである。さらに $m$ が自然数であるには $m\geqq 1$ が必要である。$m$ が整数であることが分かっているとき、条件(B)の $2n>k^2$ は $${\displaystyle \frac{n}{k}-\frac{k}{2}>0}$$ を意味するので、$${\displaystyle m=\frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}>\frac{1}{2}}$$ となる。$m$ は整数だから $m\geqq 1$ である。

逆に、$m$ が自然数なら $m$ は整数なので(A)が成り立つ。また $2n=k(2m+k-1)$ であり、$m\geqq 1$ だから $2m+k-1\geqq k+1$ である。よって $2n\geqq k(k+1)>k^2$ となり(B)も成り立つ。したがって(A),(B)は $n$ が $k$-連続和であるための必要十分条件である。

(2)

$n=2^f$ とする。もし $n$ が $k$-連続和なら $2n=k(2m+k-1)$ である。ここで $(2m+k-1)-k=2m-1$ は奇数なので、2つの因子 $k$ と $2m+k-1$ は反対の偶奇である。したがって積 $2n=2^{f+1}$ の中に、1より大きい奇数因子が現れなければならない。

しかし $2^{f+1}$ の奇数因子は1だけである。これは $k\geqq 2$ かつ $2m+k-1>k$ に反する。よって、$n=2^f$ が $k$-連続和となるような $k\geqq 2$ は存在しない。

(3)

$n=p^f$ とする。ただし $p$ は2でない素数なので奇数である。連続和が存在するとき、(2)と同じく $2p^f=k(2m+k-1)$ であり、2つの因子は反対の偶奇である。したがって、この2因子のうち奇数の方は $p,p^2,\dots ,p^f$ のいずれかである。奇数因子が1である場合は、もう一方の因子が $2p^f$ となり、小さい方の因子が1になって $k\geqq 2$ に合わないので除く。

逆に、$p^j$ $(j=1,2,\dots ,f)$ を1つ選ぶ。因子の組 $${\displaystyle p^j,\frac{2p^f}{p^j}=2p^{f-j}}$$ を考え、小さい方を $k$、大きい方を $2m+k-1$ とすれば、2因子は反対の偶奇であるため $${\displaystyle m=\frac{(2m+k-1)-k+1}{2}}$$ は整数になる。また大きい方は小さい方より大きいので $m\geqq 1$ である。よって1つの $p^j$ からちょうど1つの $k$-連続和が得られる。

以上より、可能な $k\geqq 2$ の個数は奇数因子 $p,p^2,\dots ,p^f$ の個数に等しく、$f$ である。

$2n=k(2m+k-1)$ の2因子が反対の偶奇であることから、連続和と1でない奇数約数を直接対応させる。奇数約数 $d$ と相方 $2n\mathrm{/}d$ の小さい方を項数に選ぶ。

(1)

連続する $k$ 個の自然数の和は$$n=km+\frac{k(k-1)}{2}$$である。したがって$$m=\frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$$となる。$m$ が整数であることが (A) である。また (A) のもとでは$$2n>k^2⟺m>\frac{1}{2}⟺m\geqq 1$$だから、(A),(B) は $m$ が自然数であることと同値である。

(2)

連続和が存在すれば$$2n=k(2m+k-1)$$である。2因子の差は $2m-1$ で奇数だから、2因子は反対の偶奇である。よって、そのうち奇数の因子は $n$ の奇数約数であり、$k\geqq 2$ かつ $2m+k-1>k$ なので1ではない。

$n=2^f$ は1でない奇数約数をもたない。したがって該当する $k$ は存在しない。

(3)

逆に、$n$ の1でない奇数約数 $d$ を1つ取る。$d$ と $2n\mathrm{/}d$ は反対の偶奇である。両者は等しくならないので、小さい方を $k$、大きい方を $L$ とおくと$$2n=kL,L>k,L-k\text{ は奇数}$$である。そこで$$m=\frac{L-k+1}{2}$$とおけば $m$ は自然数であり、$L=2m+k-1$ だから $n$ は $k$-連続和となる。

この操作は逆向きにも一意である。したがって可能な $k$ の個数は、$n$ の1でない奇数約数の個数に等しい。$n=p^f$ の奇数約数は$$1,p,p^2,\dots ,p^f$$であるから、1を除いた個数は$$f$$である。