問題
平面において、 がともに整数であるとき、点 を格子点とよぶ。 を1以上の整数とするとき、放物線
と 軸および 軸によって囲まれた図形を とする。
(1) の周上の格子点の数 を で表せ。
(2) の周上および内部の格子点の数 を で表せ。
(3)
の最大値と、そのときの の値を求めよ。
方針
解法1
領域 は 、 と表せる。周上の格子点は、 軸、 軸、放物線上の格子点をそれぞれ数え、3つの頂点の重複を引く。内部込みの格子点は、整数 ごとに縦方向の格子点数 を足す。(3)は得られた式を の2次式に整理し、正の整数 での最大を調べる。
解法2
整数 ごとの縦列に分けて格子点を数える。(3)では平方完成を使わず、隣り合う整数での値の差を調べて増減を決定する。
解答
解法1
(1)
放物線は である。 軸との交点は 、 軸との交点は である。したがって は で表される領域である。
周上の格子点を数える。 軸上には の 個がある。 軸上には の 個がある。放物線上には、整数 に対して が格子点になるので、 個がある。
ただし、3つの境界の交点 を重複して数えているので、それぞれ1回ずつ余分に引く。よって である。
(2)
整数 を固定する。 のとき、 内の格子点の 座標は を取り、個数は である。したがって である。 とおくと である。よって である。
(3)
(1)、(2)より
である。これは について下に開く2次式であり、平方完成すると である。 は正の整数なので、最大は に最も近い で起こる。その値は である。したがって最大値は で、そのとき である。
解法2
(1)
境界は 軸、 軸、放物線弧からなる。各部分の格子点数は
である。3頂点が二重に数えられているので、
(2)
に対し、縦線 上では
だから、格子点は 個ある。よって
(3)
とおく。隣接差は
したがって では増加し、 では差が0、 では減少する。ゆえに最大値は
であり、そのとき である。