東北大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1)
放物線は $y=x^2-2mx+m^2=(x-m{)}^2$ である。$x$ 軸との交点は $(m,0)$、$y$ 軸との交点は $(0,m^2)$ である。したがって $D$ は $$0\leqq x\leqq m,0\leqq y\leqq (m-x{)}^2$$ で表される領域である。

周上の格子点を数える。$x$ 軸上には $(0,0),(1,0),\dots ,(m,0)$ の $m+1$ 個がある。$y$ 軸上には $(0,0),(0,1),\dots ,(0,m^2)$ の $m^2+1$ 個がある。放物線上には、整数 $x=0,1,\dots ,m$ に対して $(x,(m-x{)}^2)$ が格子点になるので、$m+1$ 個がある。

ただし、3つの境界の交点 $(0,0),(0,m^2),(m,0)$ を重複して数えているので、それぞれ1回ずつ余分に引く。よって $$L_m=(m+1)+(m^2+1)+(m+1)-3=m^2+2m$$ である。

(2)
整数 $x$ を固定する。$x=0,1,\dots ,m$ のとき、$D$ 内の格子点の $y$ 座標は $0,1,2,\dots ,(m-x{)}^2$ を取り、個数は $(m-x{)}^2+1$ である。したがって $$T_m=\sum _{x=0}^m\{(m-x{)}^2+1\}$$ である。$j=m-x$ とおくと $$T_m=\sum _{j=0}^m(j^2+1)=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+m+1$$ である。よって $$T_m=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+m+1$$ である。

(3)
(1)、(2)より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_m-\frac{m}{3}{L}_m}& {\displaystyle =\{\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+m+1\}-\frac{m}{3}(m^2+2m)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{m^2}{6}+\frac{7m}{6}+1}\end{array}$$である。これは $m$ について下に開く2次式であり、平方完成すると $-\frac{1}{6}{(m-\frac{7}{2})}^2+\frac{49}{24}+1$ である。$m$ は正の整数なので、最大は $\frac{7}{2}$ に最も近い $m=3,m=4$ で起こる。その値は $$-\frac{9}{6}+\frac{21}{6}+1=3$$ である。したがって最大値は $3$ で、そのとき $m=3,4$ である。

整数 $x$ ごとの縦列に分けて格子点を数える。(3)では平方完成を使わず、隣り合う整数での値の差を調べて増減を決定する。

(1)
境界は $x$ 軸、$y$ 軸、放物線弧からなる。各部分の格子点数は$$m+1,m^2+1,m+1$$である。3頂点が二重に数えられているので、$$L_m=(m+1)+(m^2+1)+(m+1)-3=m^2+2m\mathrm{.}$$(2)
$j=0,1,\dots ,m$ に対し、縦線 $x=m-j$ 上では$$0\leqq y\leqq j^2$$だから、格子点は $j^2+1$ 個ある。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_m}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^m(j^2+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+m+1.}\end{array}$$(3)$$E_m:=T_m-\frac{m}{3}{L}_m=-\frac{m^2}{6}+\frac{7m}{6}+1$$とおく。隣接差は$$E_{m+1}-E_m=1-\frac{m}{3}\mathrm{.}$$したがって $m=1,2$ では増加し、$m=3$ では差が0、$m\geqq 4$ では減少する。ゆえに最大値は$$E_3=E_4=3$$であり、そのとき $m=3,4$ である。