東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

残った部品A，B，Cの個数をそれぞれ$l,m,n$とすると，ネジの総数は $7l+9m+12n=54$ である。ここで$9m,12n,54$はいずれも3の倍数なので $7l\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。$7\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$だから $l\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。

また$7l\leqq 54$より$l\leqq 7$である。したがって $l=0,3,6$ だけを調べればよい。 $l=0$のとき $9m+12n=54$ すなわち $3m+4n=18$ である。$n=0,1,2,3,4$を調べると，$m$が整数になるのは $(n,m)=(0,6),(3,2)$ である。 $l=3$のとき $9m+12n=33$ すなわち $3m+4n=11$ である。これを満たす負でない整数解は $(n,m)=(2,1)$ である。 $l=6$のとき $9m+12n=12$ すなわち $3m+4n=4$ である。これを満たす負でない整数解は $(n,m)=(1,0)$ である。

以上より，求める組は $$(l,m,n)=(0,6,0),(0,2,3),(3,1,2),(6,0,1)$$ である。

$n$を$0$から$4$まで固定し，$7l+9m=54-12n$を解く。法9で$l$の合同類を一意に定め，さらに$0\leqq l\leqq (54-12n)\mathrm{/}7<9$を使うと，各$n$について候補は高々1個になる。表で全候補を確認して漏れを防ぐ。

ネジの総数から$$7l+9m+12n=54$$であり，$l,m,n$は負でない整数である。$12n\leqq 54$より$$n=0,1,2,3,4$$だけを調べればよい。$N=54-12n$とおくと$$7l+9m=N\mathrm{.}$$法$9$で考えると$7l\equiv N(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$であり，$7\cdot 4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$だから$$l\equiv 4N(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$$となる。また$0\leqq l\leqq N\mathrm{/}7<9$なので，各$n$で候補となる$l$は高々1つである。$$\begin{array}{cccc}n& N& l& m\\ 0& 54& 0& 6\\ 1& 42& 6& 0\\ 2& 30& 3& 1\\ 3& 18& 0& 2\\ 4& 6& \text{候補なし}& \text{候補なし}\end{array}$$したがって求める組は$$(l,m,n)=(0,6,0),(6,0,1),(3,1,2),(0,2,3)$$である。