東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $n=6$のとき $2^6=64,6^2+7=43$ なので $2^6>6^2+7$ である。

次に，ある$n\geqq 6$で $2^n>n^2+7$ が成り立つと仮定する。このとき $$2^{n+1}=2\cdot 2^n>2n^2+14$$ である。ここで $$(2n^2+14)-\{(n+1{)}^2+7\}=n^2-2n+6=(n-1{)}^2+5>0$$ だから $2n^2+14>(n+1{)}^2+7$ である。したがって $2^{n+1}>(n+1{)}^2+7$ が成り立つ。数学的帰納法により，すべての6以上の整数$n$に対して $2^n>n^2+7$ である。

(2) $p^q=q^p+7$ より $p^q-q^p=7$ である。

もし$p,q$がともに奇素数なら，$p^q$も$q^p$も奇数であり，差$p^q-q^p$は偶数になる。これは7に等しくない。したがって$p,q$の少なくとも一方は2である。

まず$p=2$とする。このとき $2^q=q^2+7$ である。$q=2$では$4\mathrm{\ne }11$，$q=3$では$8\mathrm{\ne }16$，$q=5$では $2^5=32=5^2+7$ である。$q\geqq 7$なら$q$は6以上なので，(1)より $2^q>q^2+7$ となり，等号は成り立たない。よってこの場合は $(p,q)=(2,5)$ だけである。

次に$q=2$とする。このとき $p^2=2^p+7$ である。$p=2$では不適であり，$p=3,5$についても $$3^2=9\mathrm{\ne }15=2^3+7,5^2=25\mathrm{\ne }39=2^5+7$$ である。$p\geqq 7$なら(1)より $2^p>p^2+7>p^2$ となるため，$p^2=2^p+7$は成り立たない。したがって新しい解はない。

以上より，求める素数の組は $(p,q)=(2,5)$ である。

(1) は指定通り数学的帰納法で示す。(2)では偶奇から一方が2であることを出した後，$q=2$の枝を法8で一度に排除する。残る$p=2$では，(1)によって$q\geqq 7$を排除し，素数$2,3,5$だけを直接代入する。

(1) $n=6$では$$2^6=64>43=6^2+7$$である。ある$n\geqq 6$で$2^n>n^2+7$と仮定すると$$2^{n+1}>2n^2+14.$$さらに$$2n^2+14-\{(n+1{)}^2+7\}=(n-1{)}^2+5>0$$だから，$2^{n+1}>(n+1{)}^2+7$である。よって数学的帰納法により，すべての$n\geqq 6$で$$2^n>n^2+7$$が成り立つ。

(2) $p,q$がともに奇素数なら，$p^q-q^p$は偶数であり，$7$にはならない。したがって一方は$2$である。

まず$q=2$とする。$p=2$は元の式を満たさない。$p$が奇素数なら$p\geqq 3$であり，$$p^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$$である。一方，$$2^p+7\equiv 0+7\equiv 7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$$だから，$p^2=2^p+7$は不可能である。

したがって$p=2$でなければならない。このとき$$2^q=q^2+7.$$$q=2,3,5$を代入すると，成立するのは$$2^5=32=5^2+7$$だけである。また素数$q\geqq 7$では(1)により$2^q>q^2+7$なので等号は成り立たない。ゆえに$$(p,q)=(2,5)$$である。