東北大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
2次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ が有理数解をもつための必要十分条件は，判別式 $D=b^2-4ac$ が0以上の平方数になることである。$a,c\geqq 1$なので，$b=1,2$では条件を満たす相異なる$a,b,c$はない。$b=3,4,5,6,7$について調べる。

条件を満たす$(a,c;D)$は次の通りである。$$\begin{array}{clc}b& (a,c;D)& N_b\\ 3& (1,2;1),(2,1;1)& 2\\ 4& (1,3;4),(3,1;4)& 2\\ 5& (1,4;9),(1,6;1),(2,3;1),(3,2;1),(4,1;9),(6,1;1)& 6\\ 6& (1,5;16),(2,4;4),(4,2;4),(5,1;16)& 4\\ 7& (1,6;25),(2,3;25),(2,5;9),(2,6;1),(3,2;25),(3,4;1),(4,3;1),(5,2;9),(6,1;25),(6,2;1)& 10\end{array}$$よって，有理数解をもつ組の総数は $2+2+6+4+10=24$ である。

(2)
(1)で列挙した24組について，解は $$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$ である。少なくとも一つの整数解をもつかどうかは，$-b+\sqrt{D}$または$-b-\sqrt{D}$が$2a$で割り切れるかで判定できる。

表の各組をこの条件で確認すると，整数解をもたないものは $$(a,b,c)=(6,5,1),(a,b,c)=(6,7,2)$$ の2組だけである。実際，それぞれ $6x^2+5x+1=0$ の解は$-1\mathrm{/}2,-1\mathrm{/}3$，$6x^2+7x+2=0$ の解は$-1\mathrm{/}2,-2\mathrm{/}3$であり，整数解をもたない。他の22組では，解の公式の一方が負の整数になる。

したがって，少なくとも一つの整数解をもつ組の総数は $24-2=22$ である。

判別式を$d^2$と置き，$(b-d)(b+d)=4ac$を利用する。$u=(b-d)\mathrm{/}2$，$v=(b+d)\mathrm{/}2$とすれば$u+v=b,uv=ac$となるため，小さい和の整数分割と積の因数分解で候補を整理できる。

(1) 有理数解をもつとき，判別式を$d^2(d\geqq 0)$と書ける。$b$と$d$は同じ偶奇なので$$u=\frac{b-d}{2},v=\frac{b+d}{2}$$は整数であり，$$u+v=b,uv=ac$$を満たす。$a,c>0$より$u,v>0$である。各$b$について，条件を満たす$(u,v)$と積$ac$の因数分解を調べると$$\begin{array}{cccc}b& d& (u,v)& (a,c)\text{ の個数}\\ 3& 1& (1,2)& 2\\ 4& 2& (1,3)& 2\\ 5& 1,3& (2,3),(1,4)& 4+2\\ 6& 2,4& (2,4),(1,5)& 2+2\\ 7& 1,3,5& (3,4),(2,5),(1,6)& 4+2+4\end{array}$$となる。ここでは$a,b,c$が相異なる条件を除外済みである。したがって総数は$$2+2+6+4+10=24.$$(2) 上の記号では2解は$$x=-\frac{u}{a},x=-\frac{v}{a}$$である。よって少なくとも一方が整数である条件は，$a\mid u$または$a\mid v$である。24組を同じ表で確認すると，この条件を満たさないのは$$(a,b,c)=(6,5,1),(6,7,2)$$だけである。したがって整数解をもつ組は$$24-2=22$$通りである。