問題
を1以上7以下の互いに異なる整数とする。
(1) 2次方程式
が有理数解をもつような組の総数を求めよ。
(2) 同じ2次方程式が少なくとも一つの整数解をもつような組の総数を求めよ。
方針
解法1
有理数解をもつ条件を判別式が0以上の平方数であることに置き換える。は1以上7以下でとも相異なるため，ごとに可能なを表で列挙する。(2)では(1)の候補について，解の公式の少なくとも一方が整数になるかを割り切れで調べ，整数解をもたない2組だけを除く。
解法2
判別式をと置き，を利用する。，とすればとなるため，小さい和の整数分割と積の因数分解で候補を整理できる。
解答
解法1
(1)
2次方程式 が有理数解をもつための必要十分条件は，判別式 が0以上の平方数になることである。なので，では条件を満たす相異なるはない。について調べる。
条件を満たすは次の通りである。
よって，有理数解をもつ組の総数は である。
(2)
(1)で列挙した24組について，解は である。少なくとも一つの整数解をもつかどうかは，またはがで割り切れるかで判定できる。
表の各組をこの条件で確認すると，整数解をもたないものは の2組だけである。実際，それぞれ の解は， の解はであり，整数解をもたない。他の22組では，解の公式の一方が負の整数になる。
したがって，少なくとも一つの整数解をもつ組の総数は である。
解法2
(1)
有理数解をもつとき，判別式をと書ける。とは同じ偶奇なので
は整数であり，
を満たす。よりである。各について，条件を満たすと積の因数分解を調べると
となる。ここではが相異なる条件を除外済みである。したがって総数は
(2)
上の記号では2解は
である。よって少なくとも一方が整数である条件は，またはである。24組を同じ表で確認すると，この条件を満たさないのは
だけである。したがって整数解をもつ組は
通りである。