東北大学 2018年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

辺の長さが1である正四面体 $A B C D$ と点 $O$ を考える。

O G = \frac{1}{4} (O A + O B + O C + O D)

で定まる点を $G$ とする。

(1)

∣ G A ∣ および G A \cdot GB

を求めよ。

(2)点 $P$ は正四面体 $A B C D$ の表面および内部を動くとする。このとき

L = ∣ A P ∣^{2} + ∣ B P ∣^{2} + ∣ C P ∣^{2} + ∣ D P ∣^{2}

の最大値および最小値を求めよ。

出典：東北大学 2018年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

解法1

点 $G$ は正四面体の4頂点の重心であり、 $G A + GB + GC + G D = 0$ が成り立つ。対称性から4本の長さは等しく、異なる2本の内積も等しいとして、和が0である条件と辺の長さ1である条件から求める。(2)では $GP = v$ とおき、 $L$ を $∣ v ∣^{2}$ だけの式にする。正四面体内で $∣ GP ∣$ は重心で最小、頂点で最大になる。

解法2

重心 $G$ を原点とする対称な座標を4頂点に与える。(2)では $P$ を頂点の凸結合で表し、距離平方和を $∣ GP ∣^{2}$ に帰着する。

解答

解法1

(1)

定義より $G$ は4頂点の重心である。したがって

G A + GB + GC + G D = 0

である。正四面体の対称性より $∣ G A ∣^{2} = ρ^{2}$ とおき、異なる2頂点へのベクトルの内積を $G A \cdot GB = λ$ とおくことができる。

上の和と $G A$ の内積を取ると $ρ^{2} + 3 λ = 0$ である。また辺 $A B$ の長さは1なので

1 = ∣ A B ∣^{2} = ∣ GB - G A ∣^{2} = 2 ρ^{2} - 2 λ

である。この2式を解くと $ρ^{2} = \frac{3}{8}, λ = - \frac{1}{8}$ である。したがって $∣ G A ∣ = \frac{6}{4}$ であり、 $G A \cdot GB = - \frac{1}{8}$ である。

(2)

$v = GP$ とおく。このとき $A P = v - G A$ であり、他の頂点についても同様である。よって

L = X = A, B, C, D \sum ∣ v - GX ∣^{2} = 4∣ v ∣^{2} + X = A, B, C, D \sum ∣ GX ∣^{2} - 2 v \cdot X = A, B, C, D \sum GX

である。最後の和は $0$ なので消える。また(1)より各 $∣ GX ∣^{2}$ は $\frac{3}{8}$ である。したがって $L = 4∣ v ∣^{2} + 4 \cdot \frac{3}{8} = 4∣ GP ∣^{2} + \frac{3}{2}$ である。

点 $P$ が正四面体の表面および内部を動くとき、 $∣ GP ∣$ の最小値は $P = G$ のときの0である。また、任意の内部点は頂点の凸結合で表されるので、 $∣ GP ∣$ は頂点までの距離 $\frac{6}{4}$ を超えない。最大は頂点で達成される。

したがって $L_{m i n} = \frac{3}{2}$ であり、 $L_{m a x} = 4 \cdot \frac{3}{8} + \frac{3}{2} = 3$ である。よって $L_{m i n} = \frac{3}{2}, L_{m a x} = 3$ である。

解法2

$G$ を原点とし、4頂点を

A C = \frac{1}{2 2} (1, 1, 1), = \frac{1}{2 2} (- 1, 1, - 1), B D = \frac{1}{2 2} (1, - 1, - 1), = \frac{1}{2 2} (- 1, - 1, 1)

とおく。どの2頂点間の距離も1であり、4ベクトルの和は0なので、この配置の原点が $G$ である。

(1)

座標から

∣ G A ∣^{2} = \frac{3}{8}, G A \cdot GB = \frac{1 - 1 - 1}{8} = - \frac{1}{8} .

よって

∣ G A ∣ = \frac{6}{4}, G A \cdot GB = - \frac{1}{8} .

(2)

$p = GP$ 、4頂点の位置ベクトルを $v_{A}, \dots, v_{D}$ と書くと

L = X = A, B, C, D \sum ∣ p - v_{X} ∣^{2} = 4∣ p ∣^{2} + X \sum ∣ v_{X} ∣^{2} = 4∣ p ∣^{2} + \frac{3}{2} .

$P = G$ のとき $∣ p ∣ = 0$ だから

L_{m i n} = \frac{3}{2} .

また $P$ は頂点の凸結合

p = λ_{A} v_{A} + λ_{B} v_{B} + λ_{C} v_{C} + λ_{D} v_{D}, λ_{X} ≧ 0, X \sum λ_{X} = 1

と表せる。したがって

∣ p ∣ ≦ X \sum λ_{X} ∣ v_{X} ∣ = \frac{3}{8} .

等号は $P$ が頂点のときに成り立つので

L_{m a x} = 4 \cdot \frac{3}{8} + \frac{3}{2} = 3.

東北大学 2018年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東北大学 2018年度
後期・理系数学後期第5問