東北大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)
定義より $G$ は4頂点の重心である。したがって$$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$$である。正四面体の対称性より $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{GA}{\mathrm{\mid }}^2={\rho }^2$$ とおき、異なる2頂点へのベクトルの内積を $$\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}=\lambda$$ とおくことができる。

上の和と $\overrightarrow{GA}$ の内積を取ると ${\rho }^2+3\lambda =0$ である。また辺 $AB$ の長さは1なので$$1=\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}{\mathrm{\mid }}^2=2{\rho }^2-2\lambda$$である。この2式を解くと $${\rho }^2=\frac{3}{8},\lambda =-\frac{1}{8}$$ である。したがって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{GA}\mathrm{\mid }=\frac{\sqrt{6}}{4}$$ であり、$$\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}=-\frac{1}{8}$$ である。

(2) $$\vec{v}=\overrightarrow{GP}$$ とおく。このとき $$\overrightarrow{AP}=\vec{v}-\overrightarrow{GA}$$ であり、他の頂点についても同様である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle =\sum _{X=A,B,C,D}\mathrm{\mid }\vec{v}-\overrightarrow{GX}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2+\sum _{X=A,B,C,D}\mathrm{\mid }\overrightarrow{GX}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{v}\cdot \sum _{X=A,B,C,D}\overrightarrow{GX}}\end{array}$$である。最後の和は $\vec{0}$ なので消える。また(1)より各 $\mathrm{\mid }\overrightarrow{GX}{\mathrm{\mid }}^2$ は $\frac{3}{8}$ である。したがって $$L=4\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2+4\cdot \frac{3}{8}=4\mathrm{\mid }\overrightarrow{GP}{\mathrm{\mid }}^2+\frac{3}{2}$$ である。

点 $P$ が正四面体の表面および内部を動くとき、$\mathrm{\mid }\overrightarrow{GP}\mathrm{\mid }$ の最小値は $P=G$ のときの0である。また、任意の内部点は頂点の凸結合で表されるので、$\mathrm{\mid }\overrightarrow{GP}\mathrm{\mid }$ は頂点までの距離 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ を超えない。最大は頂点で達成される。

したがって $L_{\min }=\frac{3}{2}$ であり、$$L_{\max }=4\cdot \frac{3}{8}+\frac{3}{2}=3$$ である。よって $$L_{\min }=\frac{3}{2},L_{\max }=3$$ である。

重心 $G$ を原点とする対称な座標を4頂点に与える。(2)では $P$ を頂点の凸結合で表し、距離平方和を $\mathrm{\mid }\overrightarrow{GP}{\mathrm{\mid }}^2$ に帰着する。

$G$ を原点とし、4頂点を$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle A}& {\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}}(1,1,1),}& {\displaystyle B}& {\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}}(1,-1,-1),}\\ {\displaystyle C}& {\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}}(-1,1,-1),}& {\displaystyle D}& {\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}}(-1,-1,1)}\end{array}$$とおく。どの2頂点間の距離も1であり、4ベクトルの和は0なので、この配置の原点が $G$ である。

(1)
座標から$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{GA}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{3}{8},\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}=\frac{1-1-1}{8}=-\frac{1}{8}\mathrm{.}$$よって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{GA}\mathrm{\mid }=\frac{\sqrt{6}}{4},\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{GB}=-\frac{1}{8}\mathrm{.}$$(2)$$\mathit{p}=\overrightarrow{GP}$$、4頂点の位置ベクトルを ${\mathit{v}}_A,\dots ,{\mathit{v}}_D$ と書くと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle =\sum _{X=A,B,C,D}\mathrm{\mid }\mathit{p}-{\mathit{v}}_X{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\mathrm{\mid }\mathit{p}{\mathrm{\mid }}^2+\sum _X\mathrm{\mid }{\mathit{v}}_X{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\mathrm{\mid }\mathit{p}{\mathrm{\mid }}^2+\frac{3}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$$P=G$ のとき $\mathrm{\mid }\mathit{p}\mathrm{\mid }=0$ だから$$L_{\min }=\frac{3}{2}\mathrm{.}$$また $P$ は頂点の凸結合$$\mathit{p}={\lambda }_A{\mathit{v}}_A+{\lambda }_B{\mathit{v}}_B+{\lambda }_C{\mathit{v}}_C+{\lambda }_D{\mathit{v}}_D,{\lambda }_X\geqq 0,\sum _X{\lambda }_X=1$$と表せる。したがって$$\mathrm{\mid }\mathit{p}\mathrm{\mid }\leqq \sum _X{\lambda }_X\mathrm{\mid }{\mathit{v}}_X\mathrm{\mid }=\sqrt{\frac{3}{8}}\mathrm{.}$$等号は $P$ が頂点のときに成り立つので$$L_{\max }=4\cdot \frac{3}{8}+\frac{3}{2}=3.$$