問題
四面体 において、辺 の中点を 、辺 の中点を とする。 とし、点 は
を満たす。
(1) を で表せ。
(2) を示せ。
(3) 直線 と直線 が平行であることを示せ。
出典：東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
解法1
点 を基準にして、 を用いて全てのベクトルを表す。与えられた式は などに直すと、 が一意に求まる。(2)は と仮定すると となり、四面体の非退化性に反することを示す。(3)は と を比較する。
解法2（中点を先にまとめる）
、 という中点公式を使い、与式を の関係へ直接変形する。
解答
解法1
(1)
とおく。このとき
である。与えられた式に代入すると
となる。 の係数は であるから である。 より
である。
(2)
点 は辺 の中点なので である。もし なら、(1)の式から である。両辺に を掛けると すなわち となる。
これは を意味する。左辺は辺 の中点 の からの位置ベクトルであるから、 が の中点と一致することになる。これは四面体 であることに反する。したがって である。
(3)
(1)と より
である。
一方、 は辺 の中点なので である。したがって
である。よって である。 であり、(2)より だから、直線 と直線 は平行である。
解法2（中点を先にまとめる）
中点公式から
与式を
と組み替えると
位置ベクトルで整理すれば
を得る。さらに中点の位置ベクトルを代入すると
四面体では なので 。また だから 、すなわち であり、同じ式から直線 が従う。
