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東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

四面体 ABCD において、辺 AB の中点を M、辺 CD の中点を N とする。t≠0 とし、点 G はGA→+GB→+(t−2)GC→+tGD→=0→を満たす。

(1) DG→ を DA→,DB→,DC→ で表せ。

(2) G≠N を示せ。

(3) 直線 NG と直線 MC が平行であることを示せ。

難易度4/ 10計算量4/ 10目安16分

ベクトル　ベクトル成分計算、同値変形

方針

点 D を基準にして、DA→,DB→,DC→,DG→ を用いて全てのベクトルを表す。与えられた式は GA→=DA→−DG→ などに直すと、DG→ が一意に求まる。(2)は G=N と仮定すると DA→+DB→−2DC→=0 となり、四面体の非退化性に反することを示す。(3)は NG→ と MC→ を比較する。

解答

(1) a⃗=DA→,b⃗=DB→,c⃗=DC→,g⃗=DG→とおく。このときGA→=a⃗−g⃗,GB→=b⃗−g⃗,GC→=c⃗−g⃗,GD→=−g⃗である。与えられた式に代入すると(a⃗−g⃗)+(b⃗−g⃗)+(t−2)(c⃗−g⃗)+t(−g⃗)=0⃗となる。g⃗ の係数は −1−1−(t−2)−t=−2t であるから a⃗+b⃗+(t−2)c⃗−2tg⃗=0⃗ である。t≠0 よりDG→=DA→+DB→+(t−2)DC→2tである。

(2)
点 N は辺 CD の中点なので DN→=12c⃗ である。もし G=N なら、(1)の式から 12c⃗=a⃗+b⃗+(t−2)c⃗2t である。両辺に 2t を掛けると tc⃗=a⃗+b⃗+(t−2)c⃗ すなわち a⃗+b⃗−2c⃗=0⃗ となる。

これは a⃗+b⃗2=c⃗ を意味する。左辺は辺 AB の中点 M の D からの位置ベクトルであるから、C が AB の中点と一致することになる。これは四面体 ABCD であることに反する。したがって G≠N である。

(3)
(1)と DN→=12c⃗ よりNG→=DG→−DN→=a⃗+b⃗+(t−2)c⃗2t−12c⃗=a⃗+b⃗−2c⃗2tである。

一方、M は辺 AB の中点なので DM→=a⃗+b⃗2 である。したがってMC→=c⃗−a⃗+b⃗2=−a⃗+b⃗−2c⃗2である。よって NG→=−1tMC→ である。t≠0 であり、(2)より G≠N だから、直線 NG と直線 MC は平行である。

別解

解法2（中点を先にまとめる）

方針

GA→+GB→=2GM→、GC→+GD→=2GN→ という中点公式を使い、与式を M,N,C,G の関係へ直接変形する。

解答

中点公式からGA→+GB→=2GM→,GC→+GD→=2GN→.与式を(GA→+GB→)+(t−1)(GC→+GD→)+(GD→−GC→)=0→と組み替えると2GM→+2(t−1)GN→+CD→=0→.位置ベクトルで整理すればDG→=DA→+DB→+(t−2)DC→2tを得る。さらに中点の位置ベクトルを代入するとNG→=−1tMC→.四面体では M≠C なので MC→≠0→。また t≠0 だから NG→≠0→、すなわち G≠N であり、同じ式から直線 NG∥MC が従う。

総評

難度4、目安時間16分。基準点を D にそろえれば、ほぼ一次計算だけで終わる問題である。GA→ などを DA→−DG→ の形に直すことが最初のポイント。(2)では、得られたベクトル関係が四面体の非退化性に反することをきちんと言葉にする必要がある。(3)は NG→ と MC→ が実数倍になることを示せば十分である。

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出典: 東北大学 2018年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。