東北大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}$$，$$\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}$$とおく。$D$は$AB$を$s:1$に内分し，$E$は$BC$を$s:3$に内分するから$$\overrightarrow{AD}=\frac{s}{s+1}\mathbf{b},\overrightarrow{AE}=\frac{3}{s+3}\mathbf{b}+\frac{s}{s+3}\mathbf{c}$$である。 $F$が$AE$上にあることから$$\overrightarrow{AF}=\lambda (\frac{3}{s+3}\mathbf{b}+\frac{s}{s+3}\mathbf{c})$$と書ける。また$F$が$CD$上にあることから $$\overrightarrow{AF}=(1-\mu )\mathbf{c}+\frac{\mu s}{s+1}\mathbf{b}$$ とも書ける。よって係数を比較して$$\alpha =\frac{3\lambda }{s+3}=\frac{\mu s}{s+1},\beta =\frac{\lambda s}{s+3}=1-\mu$$を得る。ここで$\lambda$を消去すると$$\alpha ={\displaystyle \frac{3\beta }{s}}$$であり，$\mu$を消去すると $$\beta =1-\frac{\alpha (s+1)}{s}$$ である。したがって $$\beta =1-\frac{3\beta (s+1)}{s^2},\beta \{s^2+3s+3\}=s^2$$ より $$\beta =\frac{s^2}{s^2+3s+3},\alpha =\frac{3s}{s^2+3s+3}$$ である。

(2)
辺$AC$を底辺と見て，$B$から直線$AC$までの距離を$h$とする。点$F$は $$\overrightarrow{AF}=\alpha \mathbf{b}+\beta \mathbf{c}$$ と表されるので，$AC$に垂直な方向の成分は$\alpha \mathbf{b}$の分だけである。したがって $FG=\alpha h$ であり，$h$は三角形$ABC$で固定されているから，$\alpha$を最大にすればよい。 $$\alpha (s)=\frac{3s}{s^2+3s+3}$$ とおくと$${\alpha }^{\mathrm{\prime }}(s)=\frac{3(s^2+3s+3)-3s(2s+3)}{(s^2+3s+3{)}^2}=\frac{3(3-s^2)}{(s^2+3s+3{)}^2}$$である。$s>0$より，$0<s<\sqrt{3}$で増加し，$s>\sqrt{3}$で減少する。よって$FG$が最大となるのは $s=\sqrt{3}$ のときである。

別解。$\alpha$を $$\alpha =\frac{3}{s+3+\frac{3}{s}}$$ と変形する。$s>0$で $s+\frac{3}{s}\geqq 2\sqrt{3}$ であり，等号は$s=\sqrt{3}$のときに限る。分母が最小のとき$\alpha$が最大になるので，同じく$s=\sqrt{3}$を得る。

三角形の面積比を用いて交点$F$の重心座標を直接求める。$F$の$B$成分が辺$AC$からの距離比に一致するので，最後は相加相乗平均により分母を最小化する。

(1) 三角形$ABC$における点$F$の重心座標を$(x:y:z)$とすると，$$\overrightarrow{AF}={\displaystyle \frac{y}{x+y+z}}\overrightarrow{AB}+{\displaystyle \frac{z}{x+y+z}}\overrightarrow{AC}$$である。

$D$は$AB$を$s:1$に内分するので，直線$CD$上では$x:y=1:s$である。また$E$は$BC$を$s:3$に内分するので，直線$AE$上では$y:z=3:s$である。したがって$$(x:y:z)=(3:3s:s^2)$$となる。よって$$\alpha =\frac{3s}{s^2+3s+3},\beta =\frac{s^2}{s^2+3s+3}\mathrm{.}$$(2) $B$から直線$AC$までの距離を$h$とする。重心座標の$B$成分が$\alpha$であるから，$F$から$AC$までの距離は$$FG=\alpha h=\frac{3h}{s+3+3\mathrm{/}s}$$である。ここで$s>0$より$$s+\frac{3}{s}\geqq 2\sqrt{3}$$であり，等号は$s=\sqrt{3}$のときに限る。したがって分母が最小，すなわち$FG$が最大となるのは$s=\sqrt{3}$である。