東北大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

条件$23a+7b=0$より $$b=-\frac{23}{7}a$$ である。したがって $$at+b=a(t-\frac{23}{7})$$ である。

上端，下端が$x$に依存する定積分を微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(x)=2\{a(2x+1)+b{\}}^{1\mathrm{/}3}-\{ax+b{\}}^{1\mathrm{/}3}$$ である。$a>0$を用いて$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=\sqrt[3]{a}\{2{(2x-\frac{16}{7})}^{1\mathrm{/}3}-{(x-\frac{23}{7})}^{1\mathrm{/}3}\}$$と書ける。 $F^{\mathrm{\prime }}(x)=0$は $$2{(2x-\frac{16}{7})}^{1\mathrm{/}3}={(x-\frac{23}{7})}^{1\mathrm{/}3}$$ である。両辺を3乗して $$8(2x-\frac{16}{7})=x-\frac{23}{7}$$ を得る。整理すると $15x=15$ より $x=1$ である。

また，実数$U,V$について$U-V$と$U^3-V^3$の符号は一致する。したがって$F^{\mathrm{\prime }}(x)$の符号は $$8(2x-\frac{16}{7})-(x-\frac{23}{7})=15(x-1)$$ の符号と一致する。よって$F(x)$は$x<1$で減少し，$x>1$で増加するので，最小値は$x=1$でとる。

最小値は$$F(1)={\int }_1^3{\left\{a(t-\frac{23}{7})\right\}}^{1\mathrm{/}3}dt=\sqrt[3]{a}{\int }_1^3{(t-\frac{23}{7})}^{1\mathrm{/}3}dt$$である。よって$$F(1)=\frac{3\sqrt[3]{a}}{4}{\left[{(t-\frac{23}{7})}^{4\mathrm{/}3}\right]}_1^3$$となる。$1-23\mathrm{/}7=-16\mathrm{/}7$，$3-23\mathrm{/}7=-2\mathrm{/}7$より$$F(1)=\frac{3\sqrt[3]{a}}{4}\{{\left(\frac{2}{7}\right)}^{4\mathrm{/}3}-{\left(\frac{16}{7}\right)}^{4\mathrm{/}3}\}=-\frac{45}{14}\sqrt[3]{\frac{2a}{7}}$$である。

したがって，最小値は $-\frac{45}{14}\sqrt[3]{\frac{2a}{7}}$ であり，そのとき $x=1$ である。

実数全体で使える原始関数$H(u)=\frac{3}{4}(\sqrt[3]{u}{)}^4$を導入し，まず$F(x)$を端点値の差として明示する。その式を微分して増減を判定する。

$b=-23a\mathrm{/}7$である。実数$u$に対して$$H(u)=\frac{3}{4}(\sqrt[3]{u}{)}^4$$とおくと$$H^{\mathrm{\prime }}(u)=\sqrt[3]{u}$$である。したがって$$F(x)=\sqrt[3]{a}\{H(2x-\frac{16}{7})-H(x-\frac{23}{7})\}\mathrm{.}$$これを微分して$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=\sqrt[3]{a}\{2\sqrt[3]{2x-\frac{16}{7}}-\sqrt[3]{x-\frac{23}{7}}\}\mathrm{.}$$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=0$の両辺を3乗すると$$8(2x-\frac{16}{7})=x-\frac{23}{7},$$よって$x=1$である。また3乗関数は単調増加なので，$F^{\mathrm{\prime }}(x)$の符号は$$8(2x-\frac{16}{7})-(x-\frac{23}{7})=15(x-1)$$の符号に一致する。したがって$x=1$で最小となる。

このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(1)}& {\displaystyle =\sqrt[3]{a}\{H(-\frac{2}{7})-H(-\frac{16}{7})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3\sqrt[3]{a}}{4}\{{\left(\frac{2}{7}\right)}^{4\mathrm{/}3}-{\left(\frac{16}{7}\right)}^{4\mathrm{/}3}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{45}{14}\sqrt[3]{\frac{2a}{7}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって最小値は$-{\displaystyle \frac{45}{14}}\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{2a}{7}}}$，そのとき$x=1$である。