東北大学 2017年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$23 a + 7 b = 0$ を満たす実数 $a, b$ （ $a > 0$ ）に対し，関数 $F (x)$ を

F (x) = \int_{x}^{2 x + 1} 3 a t + b d t

で定める。 $F (x)$ の最小値と，そのときの $x$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2017年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

解法1

条件 $23 a + 7 b = 0$ から $b = - 23 a /7$ とし，積分の上端・下端が $x$ に依存する関数として微分する。 $F^{'} (x) = 0$ は実数の3乗根の単調性を使って3乗して解く。さらに $F^{'} (x)$ の符号は，両辺を3乗した差の符号と一致するため， $x = 1$ で最小になることを示せる。最小値は $t - 23/7$ をそのまま積分し，負の範囲での3乗根の扱いに注意して評価する。

解法2

実数全体で使える原始関数 $H (u) = \frac{3}{4} (3 u)^{4}$ を導入し，まず $F (x)$ を端点値の差として明示する。その式を微分して増減を判定する。

解答

解法1

条件 $23 a + 7 b = 0$ より $b = - \frac{23}{7} a$ である。したがって $a t + b = a (t - \frac{23}{7})$ である。

上端，下端が $x$ に依存する定積分を微分すると $F^{'} (x) = 2 {a (2 x + 1) + b}^{1/3} - {a x + b}^{1/3}$ である。 $a > 0$ を用いて

F^{'} (x) = 3 a {2 (2 x - \frac{16}{7})^{1/3} - (x - \frac{23}{7})^{1/3}}

と書ける。 $F^{'} (x) = 0$ は $2 (2 x - \frac{16}{7})^{1/3} = (x - \frac{23}{7})^{1/3}$ である。両辺を3乗して $8 (2 x - \frac{16}{7}) = x - \frac{23}{7}$ を得る。整理すると $15 x = 15$ より $x = 1$ である。

また，実数 $U, V$ について $U - V$ と $U^{3} - V^{3}$ の符号は一致する。したがって $F^{'} (x)$ の符号は $8 (2 x - \frac{16}{7}) - (x - \frac{23}{7}) = 15 (x - 1)$ の符号と一致する。よって $F (x)$ は $x < 1$ で減少し， $x > 1$ で増加するので，最小値は $x = 1$ でとる。

最小値は

F (1) = \int_{1}^{3} {a (t - \frac{23}{7})}^{1/3} d t = 3 a \int_{1}^{3} (t - \frac{23}{7})^{1/3} d t

である。よって

F (1) = \frac{3 3 a}{4} [(t - \frac{23}{7})^{4/3}]_{1}^{3}

となる。 $1 - 23/7 = - 16/7$ ， $3 - 23/7 = - 2/7$ より

F (1) = \frac{3 3 a}{4} {(\frac{2}{7})^{4/3} - (\frac{16}{7})^{4/3}} = - \frac{45}{14} 3 \frac{2 a}{7}

である。

したがって，最小値は $- \frac{45}{14} 3 \frac{2 a}{7}$ であり，そのとき $x = 1$ である。

解法2

$b = - 23 a /7$ である。実数 $u$ に対して

H (u) = \frac{3}{4} (3 u)^{4}

とおくと $H^{'} (u) = 3 u$ である。したがって

F (x) = 3 a {H (2 x - \frac{16}{7}) - H (x - \frac{23}{7})} .

これを微分して

F^{'} (x) = 3 a {2 3 2 x - \frac{16}{7} - 3 x - \frac{23}{7}} .

$F^{'} (x) = 0$ の両辺を3乗すると

8 (2 x - \frac{16}{7}) = x - \frac{23}{7},

よって $x = 1$ である。また3乗関数は単調増加なので， $F^{'} (x)$ の符号は

8 (2 x - \frac{16}{7}) - (x - \frac{23}{7}) = 15 (x - 1)

の符号に一致する。したがって $x = 1$ で最小となる。

このとき

F (1) = 3 a {H (- \frac{2}{7}) - H (- \frac{16}{7})} = \frac{3 3 a}{4} {(\frac{2}{7})^{4/3} - (\frac{16}{7})^{4/3}} = - \frac{45}{14} 3 \frac{2 a}{7} .

よって最小値は $- \frac{45}{14} 3 \frac{2 a}{7}$ ，そのとき $x = 1$ である。

東北大学 2017年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

東北大学 2017年度
後期・理系数学後期第2問