東北大学 2017年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$x=\cos \theta +\sin \theta$$ とおくと$$x^2={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta =1+2\sin \theta \cos \theta$$である。したがって $$\sin \theta \cos \theta =\frac{x^2-1}{2}$$ である。

よって$$f(\theta )=\frac{1}{2+\cos \theta }+\frac{1}{2+\sin \theta }=\frac{4+\sin \theta +\cos \theta }{(2+\cos \theta )(2+\sin \theta )}$$であり，分母は$$4+2(\sin \theta +\cos \theta )+\sin \theta \cos \theta =4+2x+\frac{x^2-1}{2}=\frac{x^2+4x+7}{2}$$である。したがって $$f(\theta )=\frac{2(x+4)}{x^2+4x+7}$$ である。

(2) $$x=\sin \theta +\cos \theta$$の範囲は $$-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}$$ である。ここで $$g(x)=\frac{2(x+4)}{x^2+4x+7}$$ とおく。微分すると$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2(x^2+4x+7)-2(x+4)(2x+4)}{(x^2+4x+7{)}^2}=-\frac{2(x^2+8x+9)}{(x^2+4x+7{)}^2}$$である。 $x^2+8x+9=0$の解は $x=-4\pm \sqrt{7}$ であり，区間$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$に入るのは$x=-4+\sqrt{7}$だけである。導関数の符号から，$g(x)$はこの点で最大となる。最大値は $$g(-4+\sqrt{7})=\frac{2+\sqrt{7}}{3}$$ である。

最小値は端点で比較する。 $g(-\sqrt{2})>g(\sqrt{2})$ であるから，最小値は$x=\sqrt{2}$のときであり，$$g(\sqrt{2})=\frac{2(4+\sqrt{2})}{9+4\sqrt{2}}=\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$$ である。

したがって，最大値は $\frac{2+\sqrt{7}}{3}$ 最小値は $\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$ である。

(1) で得た有理式について，最大値は値$y$を固定した2次方程式の判別式から上限を出す。最小値は右端$x=\sqrt{2}$での値との差を因数分解し，区間全体で非負になることを示す。

(1) $x=\sin \theta +\cos \theta$とすると$$\sin \theta \cos \theta =\frac{x^2-1}{2}$$であるから$$f(\theta )=\frac{2(x+4)}{x^2+4x+7},-\sqrt{2}\leqq x\leqq \sqrt{2}\mathrm{.}$$(2) $$y={\displaystyle \frac{2(x+4)}{x^2+4x+7}}$$とおくと$$y{x}^2+(4y-2)x+7y-8=0.$$実数$x$をもつための必要条件は判別式が非負，すなわち$$(4y-2{)}^2-4y(7y-8)=-4(3y^2-4y-1)\geqq 0.$$したがって$$y\leqq \frac{2+\sqrt{7}}{3}\mathrm{.}$$等号のときの重解は$x=-4+\sqrt{7}$で，これは所定の区間内にある。よって最大値は${\displaystyle \frac{2+\sqrt{7}}{3}}$である。

最小値の候補として右端の値$$m=g(\sqrt{2})=\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$$を取る。直接因数分解すると$$g(x)-m=\frac{(-8-2\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x+2+\sqrt{2}\mathrm{/}2)}{(9+4\sqrt{2})(x^2+4x+7)}\mathrm{.}$$区間$[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$では右辺は非負で，等号は$x=\sqrt{2}$のときに限る。したがって最小値は$$\frac{8-2\sqrt{2}}{7}$$である。