東北大学 2017年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

実数 $θ$ の関数

f (θ) = \frac{1}{2 + cos θ} + \frac{1}{2 + sin θ}

を考える。

(1) $x = cos θ + sin θ$ とおくとき， $f (θ)$ を $x$ を用いて表せ。

(2) $f (θ)$ の最大値と最小値を求めよ。

出典：東北大学 2017年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

解法1

$x = cos θ + sin θ$ とおき， $(sin θ + cos θ)^{2} = 1 + 2 sin θ cos θ$ から $sin θ cos θ$ を $x$ で表す。 $x$ の範囲は $- 2 ≦ x ≦ 2$ である。得られた1変数関数を微分し，区間内の臨界点と両端の値を比較して最大値・最小値を決める。

解法2

(1)で得た有理式について，最大値は値 $y$ を固定した2次方程式の判別式から上限を出す。最小値は右端 $x = 2$ での値との差を因数分解し，区間全体で非負になることを示す。

解答

解法1

(1)

$x = cos θ + sin θ$ とおくと

x^{2} = cos^{2} θ + sin^{2} θ + 2 sin θ cos θ = 1 + 2 sin θ cos θ

である。したがって $sin θ cos θ = \frac{x ^{2} - 1}{2}$ である。

よって

f (θ) = \frac{1}{2 + cos θ} + \frac{1}{2 + sin θ} = \frac{4 + sin θ + cos θ}{( 2 + cos θ ) ( 2 + sin θ )}

であり，分母は

4 + 2 (sin θ + cos θ) + sin θ cos θ = 4 + 2 x + \frac{x ^{2} - 1}{2} = \frac{x ^{2} + 4 x + 7}{2}

である。したがって $f (θ) = \frac{2 ( x + 4 )}{x ^{2} + 4 x + 7}$ である。

(2)

$x = sin θ + cos θ$ の範囲は $- 2 ≦ x ≦ 2$ である。ここで $g (x) = \frac{2 ( x + 4 )}{x ^{2} + 4 x + 7}$ とおく。微分すると

g^{'} (x) = \frac{2 ( x ^{2} + 4 x + 7 ) - 2 ( x + 4 ) ( 2 x + 4 )}{( x ^{2} + 4 x + 7 ) ^{2}} = - \frac{2 ( x ^{2} + 8 x + 9 )}{( x ^{2} + 4 x + 7 ) ^{2}}

である。 $x^{2} + 8 x + 9 = 0$ の解は $x = - 4 \pm 7$ であり，区間 $[- 2, 2]$ に入るのは $x = - 4 + 7$ だけである。導関数の符号から， $g (x)$ はこの点で最大となる。最大値は $g (- 4 + 7) = \frac{2 + 7}{3}$ である。

最小値は端点で比較する。 $g (- 2) > g (2)$ であるから，最小値は $x = 2$ のときであり， $g (2) = \frac{2 ( 4 + 2 )}{9 + 4 2} = \frac{8 - 2 2}{7}$ である。

したがって，最大値は $\frac{2 + 7}{3}$ 最小値は $\frac{8 - 2 2}{7}$ である。

解法2

(1)

$x = sin θ + cos θ$ とすると

sin θ cos θ = \frac{x ^{2} - 1}{2}

であるから

f (θ) = \frac{2 ( x + 4 )}{x ^{2} + 4 x + 7}, - 2 ≦ x ≦ 2 .

(2)

$y = \frac{2 ( x + 4 )}{x ^{2} + 4 x + 7}$ とおくと

y x^{2} + (4 y - 2) x + 7 y - 8 = 0.

実数 $x$ をもつための必要条件は判別式が非負，すなわち

(4 y - 2)^{2} - 4 y (7 y - 8) = - 4 (3 y^{2} - 4 y - 1) ≧ 0.

したがって

y ≦ \frac{2 + 7}{3} .

等号のときの重解は $x = - 4 + 7$ で，これは所定の区間内にある。よって最大値は $\frac{2 + 7}{3}$ である。

最小値の候補として右端の値

m = g (2) = \frac{8 - 2 2}{7}

を取る。直接因数分解すると

g (x) - m = \frac{( - 8 - 2 2 ) ( x - 2 ) ( x + 2 + 2 /2 )}{( 9 + 4 2 ) ( x ^{2} + 4 x + 7 )} .

区間 $[- 2, 2]$ では右辺は非負で，等号は $x = 2$ のときに限る。したがって最小値は

\frac{8 - 2 2}{7}

である。

東北大学 2017年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東北大学 2017年度
後期・理系数学後期第3問