東北大学 2017年度
理系数学 前期 第5問

解答

解法1

(1)

与式 $z\bar{z}+\alpha z+\beta \bar{z}+\gamma =0$ の共役をとると $z\bar{z}+\bar{\alpha }\bar{z}+\bar{\beta }z+\bar{\gamma }=0$ である。元の式からこの式を引くと $(\alpha -\bar{\beta })z+(\beta -\bar{\alpha })\bar{z}+\gamma -\bar{\gamma }=0$ となる。$\beta -\bar{\alpha }=-(\bar{\alpha }-\beta )$であるから $(\alpha -\bar{\beta })z-(\bar{\alpha }-\beta )\bar{z}+\gamma -\bar{\gamma }=0$ を得る。

(2)

$\gamma$は負の実数であるから$\gamma -\bar{\gamma }=0$である。$\delta =\alpha -\bar{\beta }$とおくと，(1)の式は $\delta z-\bar{\delta }\bar{z}=0$ である。これは$\delta z$が実数であることを表している。

まず$\delta \ne 0$，すなわち$\alpha \ne \bar{\beta }$とする。このとき実数$\lambda$を用いて $\delta z=\lambda$ と書けるので，$z=\lambda /\delta$である。これを元の式に代入すると

となる。ここで

である。したがって $\frac{{\lambda }^2}{|\delta {|}^2}+\gamma =0$ となる。$\gamma <0$より $\lambda =\pm |\delta |\sqrt{-\gamma }$ の2つの実数解があり，対応する$z$も2個である。

次に$\delta =0$，すなわち$\alpha =\bar{\beta }$とする。このとき元の式は $|z{|}^2+\alpha z+\bar{\alpha }\bar{z}+\gamma =0$ であり，平方完成すると $|z+\bar{\alpha }{|}^2=|\alpha {|}^2-\gamma$ である。$|\alpha |\ne 0$かつ$\gamma <0$より右辺は正であるから，これは円を表し，解は無数にある。

よって，解がちょうど2個あるための必要十分条件は $\alpha \ne \bar{\beta }$ である。

解法2

(1)

与式の共役は

である。これを元の式から引けば

を得る。

(2)

$\alpha =A+Bi$，$\beta =C+Di$，$z=x+yi$とする。$\gamma$は実数なので，実部・虚部の条件は

第1式は中心

の円であり，第2式は原点を通る直線である。

まず$\alpha \ne \bar{\beta }$とする。このとき第2式は真の直線で，方向ベクトルとして

を取れる。中心の位置ベクトルとの内積は

である。ここで$|\alpha |=|\beta |$を用いた。したがって円の中心からこの直線への垂線の足は原点である。一方，円の半径を$R$とすると

であるから，直線は円を異なる2点で横切る。よって解はちょうど2個である。

$\alpha =\bar{\beta }$なら第2式は恒等的に0となり，第1式の円周上のすべての点が解になる。したがって必要十分条件は

である。