東北大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
与式 $$z\bar{z}+\alpha z+\beta \bar{z}+\gamma =0$$ の共役をとると $$z\bar{z}+\bar{\alpha }\bar{z}+\bar{\beta }z+\bar{\gamma }=0$$ である。元の式からこの式を引くと $$(\alpha -\bar{\beta })z+(\beta -\bar{\alpha })\bar{z}+\gamma -\bar{\gamma }=0$$ となる。$$\beta -\bar{\alpha }=-(\bar{\alpha }-\beta )$$であるから $$(\alpha -\bar{\beta })z-(\bar{\alpha }-\beta )\bar{z}+\gamma -\bar{\gamma }=0$$ を得る。

(2) $\gamma$は負の実数であるから$\gamma -\bar{\gamma }=0$である。$$\delta =\alpha -\bar{\beta }$$とおくと，(1)の式は $$\delta z-\bar{\delta }\bar{z}=0$$ である。これは$\delta z$が実数であることを表している。

まず$\delta \mathrm{\ne }0$，すなわち$\alpha \mathrm{\ne }\bar{\beta }$とする。このとき実数$\lambda$を用いて $\delta z=\lambda$ と書けるので，$z=\lambda \mathrm{/}\delta$である。これを元の式に代入すると$$\frac{{\lambda }^2}{\mathrm{\mid }\delta {\mathrm{\mid }}^2}+\lambda (\frac{\alpha }{\delta }+\frac{\beta }{\bar{\delta }})+\gamma =0$$となる。ここで$$\frac{\alpha }{\delta }+\frac{\beta }{\bar{\delta }}=\frac{\alpha \bar{\delta }+\beta \delta }{\mathrm{\mid }\delta {\mathrm{\mid }}^2}=\frac{\alpha (\bar{\alpha }-\beta )+\beta (\alpha -\bar{\beta })}{\mathrm{\mid }\delta {\mathrm{\mid }}^2}=\frac{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2}{\mathrm{\mid }\delta {\mathrm{\mid }}^2}=0$$である。したがって $$\frac{{\lambda }^2}{\mathrm{\mid }\delta {\mathrm{\mid }}^2}+\gamma =0$$ となる。$\gamma <0$より $$\lambda =\pm \mathrm{\mid }\delta \mathrm{\mid }\sqrt{-\gamma }$$ の2つの実数解があり，対応する$z$も2個である。

次に$\delta =0$，すなわち$\alpha =\bar{\beta }$とする。このとき元の式は $$\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2+\alpha z+\bar{\alpha }\bar{z}+\gamma =0$$ であり，平方完成すると $$\mathrm{\mid }z+\bar{\alpha }{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2-\gamma$$ である。$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$かつ$\gamma <0$より右辺は正であるから，これは円を表し，解は無数にある。

よって，解がちょうど2個あるための必要十分条件は $\alpha \mathrm{\ne }\bar{\beta }$ である。

複素係数を実部・虚部に分け，元の方程式を円と直線の共通部分として解釈する。$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$により円の中心から直線へ下ろした垂線の足が原点になり，$\gamma <0$から2交点をもつことが幾何的に分かる。

(1) 与式の共役は$$z\bar{z}+\bar{\beta }z+\bar{\alpha }\bar{z}+\bar{\gamma }=0$$である。これを元の式から引けば$$(\alpha -\bar{\beta })z-(\bar{\alpha }-\beta )\bar{z}+\gamma -\bar{\gamma }=0$$を得る。

(2) $\alpha =A+Bi$，$\beta =C+Di$，$z=x+yi$とする。$\gamma$は実数なので，実部・虚部の条件は$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+(A+C)x+(D-B)y+\gamma =0,\\ (B+D)x+(A-C)y=0.\end{array}$$第1式は中心$$P(-\frac{A+C}{2},-\frac{D-B}{2})$$の円であり，第2式は原点を通る直線である。

まず$\alpha \mathrm{\ne }\bar{\beta }$とする。このとき第2式は真の直線で，方向ベクトルとして$$\mathit{v}=(A-C,-B-D)$$を取れる。中心の位置ベクトルとの内積は$$\overrightarrow{OP}\cdot \mathit{v}=-\frac{1}{2}\{(A^2+B^2)-(C^2+D^2)\}=0$$である。ここで$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\beta \mathrm{\mid }$を用いた。したがって円の中心からこの直線への垂線の足は原点である。一方，円の半径を$R$とすると$$R^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2-\gamma >\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2$$であるから，直線は円を異なる2点で横切る。よって解はちょうど2個である。

$\alpha =\bar{\beta }$なら第2式は恒等的に0となり，第1式の円周上のすべての点が解になる。したがって必要十分条件は$$\alpha \mathrm{\ne }\bar{\beta }$$である。