問題
実数 は を満たす。直線 と曲線
を考え、 で囲まれる面積を とする。
(1) の交点を求めよ。
(2) を求めよ。
(3) の最小値を求めよ。
出典：東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
解法1
曲線 は を境に式が変わるため、交点も2つの式で別々に求める。 により、放物線部分との交点 はどちらも の範囲に入る。面積は、上下関係が変わる と曲線の式が変わる で分割して積分する。最後は得た3次式を微分し、開区間 での最小を調べる。
解法2（区間ごとの符号を一括処理）
差 を各区間で因数分解し、符号が変わる点 を数直線上に並べる。絶対値積分として面積を一括して書き、最後は平方完成した導関数で増減を決める。
解答
解法1
(1)
まず の部分で交点を求める。 より である。したがって である。 なので、どちらも の範囲に入る。
次に の部分では である。 より両辺を で割って となるから である。これは を満たす。
したがって交点は
である。
(2)
では なので、曲線 が直線 より上にある。 では直線 が上である。また では なので、直線 が上である。
よって面積は
である。各項を計算すると であり、残りも整理して を得る。
(3)
微分すると である。 では、 で 、 で である。したがって は で最小となる。
このとき である。よって最小値は である。
解法2（区間ごとの符号を一括処理）
交点方程式は
なので
を得る。差の符号から面積は
微分すると
では を境に負から正へ変わるので、最小値は
である。
