東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
まず $x<4$ の部分で交点を求める。 $-x^2+4x=ax$ より $x(-x+4-a)=0$ である。したがって $x=0,x=4-a$ である。$0<a<4$ なので、どちらも $x<4$ の範囲に入る。

次に $x\geqq 4$ の部分では $9a(x-4)=ax$ である。$a>0$ より両辺を $a$ で割って $9x-36=x$ となるから $x=\frac{9}{2}$ である。これは $x\geqq 4$ を満たす。

したがって交点は$$(0,0),(4-a,a(4-a)),(\frac{9}{2},\frac{9a}{2})$$である。

(2) $0<x<4-a$ では $(-x^2+4x)-ax=x(4-a-x)>0$ なので、曲線 $C$ が直線 $l$ より上にある。$4-a<x<4$ では直線 $l$ が上である。また $4<x<\frac{9}{2}$ では $ax-9a(x-4)=a(36-8x)>0$ なので、直線 $l$ が上である。

よって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^{4-a}\{-x^2+(4-a)x\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{4-a}^4\{x^2+(a-4)x\}dx+{\int }_4^{9\mathrm{/}2}a(36-8x)dx}\end{array}$$である。各項を計算すると $${\int }_0^{4-a}x(4-a-x)dx=\frac{(4-a{)}^3}{6}$$ であり、残りも整理して $$S(a)=\frac{-a^3+12a^2-21a+32}{3}$$ を得る。

(3)
微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(a)=-a^2+8a-7=-(a-1)(a-7)$$ である。$0<a<4$ では、$0<a<1$ で $S^{\mathrm{\prime }}(a)<0$、$1<a<4$ で $S^{\mathrm{\prime }}(a)>0$ である。したがって $S(a)$ は $a=1$ で最小となる。

このとき $$S(1)=\frac{-1+12-21+32}{3}=\frac{22}{3}$$ である。よって最小値は $\frac{22}{3}$ である。

差 $C-l$ を各区間で因数分解し、符号が変わる点 $0,4-a,4,9\mathrm{/}2$ を数直線上に並べる。絶対値積分として面積を一括して書き、最後は平方完成した導関数で増減を決める。

交点方程式は$$x(4-a-x)=0(x<4),a(8x-36)=0(x\geqq 4)$$なので$$(0,0),(4-a,a(4-a)),(\frac{9}{2},\frac{9a}{2})$$を得る。差の符号から面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^{4-a}x(4-a-x)dx+{\int }_{4-a}^{4}x(x+a-4)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_4^{9\mathrm{/}2}a(36-8x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{-a^3+12a^2-21a+32}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(a)=-(a-1)(a-7)\mathrm{.}$$$0<a<4$ では $a=1$ を境に負から正へ変わるので、最小値は$$S(1)=\frac{22}{3}$$である。