東北大学 2018年度
後期・文系数学 後期 第4問

解答

解法1

(1)

$a,b,c$ がすべて奇数なら

となり矛盾する。よって少なくとも一つは偶数である。

(2)

$a,b,c$ がすべて素数だと仮定する。$c=2$ なら

なので不可能である。(1)より $a,b$ の一方は偶数の素数2であり、対称性から $a=2$ としてよい。すると

$b,c$ は奇数だから2因子は正の偶数である。その積が4となるには両方が2でなければならず、差を取ると $b=0$ となって正の整数という条件に反する。したがって少なくとも一つは素数ではない。

解法2

(1)

全て奇数なら $a^2+b^2\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ である一方、$c^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ となり矛盾する。よって少なくとも一つは偶数である。

(2)

全て素数と仮定する。$c=2$ は $a^2+b^2\geqq 8>4$ より不可能である。(1)より対称性から $a=2$ としてよい。このとき $b,c$ は奇数なので $1\equiv c^2=a^2+b^2\equiv 4+1\equiv 5(\mathrm{mod}8)$ となり矛盾する。したがって少なくとも一つは素数ではない。