問題
片面が黒、もう片面が白の正方形の板が9枚ある。これらを横3列、縦3列に、すべて黒が表になるように並べる。さいころの出た目に従い、次のように1列の板をすべてひっくり返す。
1が出れば上の横列をすべてひっくり返す。
2が出れば中央の横列をすべてひっくり返す。
3が出れば下の横列をすべてひっくり返す。
4が出れば左の縦列をすべてひっくり返す。
5が出れば中央の縦列をすべてひっくり返す。
6が出れば右の縦列をすべてひっくり返す。
例えば、さいころを2回振って最初に1、次に4が出たとき、盤面は
となる。
(1)さいころを2回振ったとき、すべての板が黒になっている確率を求めよ。
(2)さいころを3回振ったとき、すべての板が白になっている確率を求めよ。
(3)さいころを3回振ったとき、盤面が次のようになっている確率を求めよ。
方針
解法1
盤面は各横列3本・縦列3本がそれぞれ何回選ばれたかの偶奇だけで決まる。(1)で全て黒に戻るには、2回の操作の偶奇が全て偶数になる必要があるので同じ列を2回選ぶ。(2)で全て白にするには、各マスが奇数回反転される必要があり、3回では横3列を1回ずつ選ぶか、縦3列を1回ずつ選ぶしかない。(3)は与えられた図の白黒に対応する偶奇パターンを2通りに分け、順序つきの出方を数える。
解法2
各横列・縦列を選んだ回数の偶奇を 上の0、1で表す。各板の白黒を「対応する横列と縦列の偶奇の和」で表し、目標盤面を実現する列集合を決める。
解答
解法1
(1)
各板の色は、反転された回数の偶奇だけで決まる。最初はすべて黒なので、2回後にすべて黒であるためには、すべての板が偶数回反転されなければならない。
2回の操作でこれが起こるのは、同じ横列または同じ縦列を2回選ぶ場合だけである。選ぶ列は6通りあるので、有利な出方は6通りである。全事象は 通りだから である。
(2)
3回後にすべて白であるには、9枚すべてが奇数回反転される必要がある。3回の操作でこれを実現するには、横3列をそれぞれ1回ずつ選ぶか、縦3列をそれぞれ1回ずつ選ぶしかない。
横3列を1回ずつ選ぶ順序は 通り、縦3列を1回ずつ選ぶ順序も 通りである。したがって有利な出方は 通りである。全事象は 通りだから である。
(3)
図の盤面は、列の選択回数の偶奇で見ると次の2通りで実現できる。1つは、中央の横列と左右の縦列を奇数回選び、他の列を偶数回選ぶ場合である。もう1つは、上下の横列と中央の縦列を奇数回選び、他の列を偶数回選ぶ場合である。
3回の操作で奇数回選ばれる列が3本あるなら、その3本をそれぞれ1回ずつ選ぶしかない。したがって各場合の出方は 通りである。2つの場合は異なる列集合を選んでいるので重ならない。
よって有利な出方は 通りであり、求める確率は である。
解法2
横3列の選択回数の偶奇を 、縦3列の偶奇を とする。上から 行、左から 列の板が白である条件は
である。
(1)
全て黒なら である。2回の操作では同じ列を2回選ぶ場合に限られ、列の選択は6通りだから
(2)
全て白なら、3本の横列を各1回選ぶか、3本の縦列を各1回選ぶ。したがって
(3)
目標の白黒行列は
これを の形に分解すると、偶奇が1となる列集合は
の2通りである。3回では各集合の3本を1回ずつ選ぶしかないので