問題
実数 は を満たすとする。数列 を次のように定める。
。
のとき、方程式
の相異なる実数解の個数を 、相異なる虚数解の個数を とする。
(1) のとき、 を求めよ。
(2) の一般項を求めよ。
方針
解法1
で とおくと、 の根の符号で の実数解・虚数解の個数が決まる。 の場合は最初の遷移で となり、その後固定される。 の場合は重解や負の根が現れ、 の周期3になる。
解法2
とおき、到達し得る状態 ごとに次の状態を表にする。有限個の状態の遷移として周期または定常状態を読み取る。
解答
解法1
(1)
とおく。初期値は なので、最初に考える方程式は である。これは に対応する。 のとき、この2次方程式の解は である。ここで なので、2つの解は相異なる正の数である。したがって の実数解は4個、虚数解は0個であり、 である。
次に を考える。 とすると であり、解は である。 ではこの2解も相異なる正の数である。よって である。
(2)
まず の場合を考える。(1)で となり、さらに であることを示した。同じ判定が繰り返されるので、以後も が続く。したがって初期値とそれ以後は、、 で である。である。
次に の場合を考える。初回は であり、 の重解をもつ。したがって の2つの実数解だけをもち、 である。次は であり、 は実数解をもたない。もとの4次方程式は相異なる虚数解を4個もつので である。さらに次は すなわち である。 から実数解 、 から虚数解 が出るので である。これは初期状態に戻ったので、以後は周期3で繰り返す。
したがって のとき
である。
解法2
とおくと、判定すべき方程式は
となる。正の単根 は2個の実数解 を、負の単根は2個の虚数解を与え、 は実数解 を1個だけ与える。
(1)
のとき、初期状態 からは
となり、2根はともに正である。よって である。次は
で、やはり2根は正だから
(2)
到達する状態だけを調べると、 では
したがって
一方、 では
となる。よって周期3で、
である。