東北大 2018年度文系（後期）数学第2問｜問題・解答・解説

方針

$x^{4} - a_{n} x^{2} - b_{n} + k = 0$ で $y = x^{2}$ とおくと、 $y^{2} - a_{n} y - b_{n} + k = 0$ の根の符号で $x$ の実数解・虚数解の個数が決まる。 $2 < k < 3$ の場合は最初の遷移で $(a_{2}, b_{2}) = (4, 0)$ となり、その後固定される。 $k = 3$ の場合は重解や負の根が現れ、 $(2, 2) \to (2, 0) \to (0, 4) \to (2, 2)$ の周期3になる。

解答

(1) $y = x^{2}$ とおく。初期値は $a_{1} = b_{1} = 2$ なので、最初に考える方程式は $x^{4} - 2 x^{2} - 2 + k = 0$ である。これは $y^{2} - 2 y + k - 2 = 0$ に対応する。 $2 < k < 3$ のとき、この2次方程式の解は $y = 1 \pm \sqrt{3 - k}$ である。ここで $0 < \sqrt{3 - k} < 1$ なので、2つの解は相異なる正の数である。したがって $x$ の実数解は4個、虚数解は0個であり、 $a_{2} = 4, b_{2} = 0$ である。

次に $x^{4} - 4 x^{2} + k = 0$ を考える。 $y = x^{2}$ とすると $y^{2} - 4 y + k = 0$ であり、解は $y = 2 \pm \sqrt{4 - k}$ である。 $2 < k < 3$ ではこの2解も相異なる正の数である。よって $a_{2} = 4, b_{2} = 0, a_{3} = 4, b_{3} = 0$ である。

(2)
まず $2 < k < 3$ の場合を考える。(1)で $(a_{2}, b_{2}) = (4, 0)$ となり、さらに $(a_{3}, b_{3}) = (4, 0)$ であることを示した。同じ判定が繰り返されるので、以後も $(a_{n}, b_{n}) = (4, 0)$ が続く。したがって
初期値とそれ以後は、 $(a_{1}, b_{1}) = (2, 2)$ 、 $n ≧ 2$ で $(a_{n}, b_{n}) = (4, 0)$ である。
である。

次に $k = 3$ の場合を考える。初回は $y^{2} - 2 y + 1 = 0$ であり、 $y = 1$ の重解をもつ。したがって $x = \pm 1$ の2つの実数解だけをもち、 $(a_{2}, b_{2}) = (2, 0)$ である。次は $y^{2} - 2 y + 3 = 0$ であり、 $y$ は実数解をもたない。もとの4次方程式は相異なる虚数解を4個もつので $(a_{3}, b_{3}) = (0, 4)$ である。さらに次は $y^{2} - 4 + 3 = 0$ すなわち $y^{2} - 1 = 0$ である。 $y = 1$ から実数解 $x = \pm 1$ 、 $y = - 1$ から虚数解 $x = \pm i$ が出るので $(a_{4}, b_{4}) = (2, 2)$ である。これは初期状態に戻ったので、以後は周期3で繰り返す。

したがって $k = 3$ のとき $(a_{n}, b_{n}) = {\begin{cases} (2, 2) & (n \equiv 1 (m o d 3)), \\ (2, 0) & (n \equiv 2 (m o d 3)), \\ (0, 4) & (n \equiv 0 (m o d 3)) \end{cases}$ である。

別解

解法2

方針

$y = x^{2}$ とおき、到達し得る状態 $(a_{n}, b_{n})$ ごとに次の状態を表にする。有限個の状態の遷移として周期または定常状態を読み取る。

解答

$y = x^{2}$ とおくと、判定すべき方程式は $y^{2} - a_{n} y - b_{n} + k = 0$ となる。正の単根 $y$ は2個の実数解 $x$ を、負の単根は2個の虚数解を与え、 $y = 0$ は実数解 $x = 0$ を1個だけ与える。

(1)
$2 < k < 3$ のとき、初期状態 $(2, 2)$ からは $y^{2} - 2 y + k - 2 = 0, y = 1 \pm \sqrt{3 - k}$ となり、2根はともに正である。よって $(a_{2}, b_{2}) = (4, 0)$ である。次は $y^{2} - 4 y + k = 0, y = 2 \pm \sqrt{4 - k}$ で、やはり2根は正だから $(a_{2}, b_{2}, a_{3}, b_{3}) = (4, 0, 4, 0) .$ (2)
到達する状態だけを調べると、 $2 < k < 3$ では $(2, 2) ⟼ (4, 0), (4, 0) ⟼ (4, 0) .$ したがって $(a_{1}, b_{1}) = (2, 2), (a_{n}, b_{n}) = (4, 0) (n ≧ 2) .$ 一方、 $k = 3$ では $\begin{array}{ccc} (a_{n}, b_{n}) & y の方程式 & (a_{n + 1}, b_{n + 1}) \\ (2, 2) & (y - 1)^{2} = 0 & (2, 0) \\ (2, 0) & y^{2} - 2 y + 3 = 0 & (0, 4) \\ (0, 4) & y^{2} - 1 = 0 & (2, 2) \end{array}$ となる。よって周期3で、 $(a_{n}, b_{n}) = {\begin{cases} (2, 2) & (n \equiv 1 (m o d 3)), \\ (2, 0) & (n \equiv 2 (m o d 3)), \\ (0, 4) & (n \equiv 0 (m o d 3)) \end{cases}$ である。

総評

難度6、目安時間24分。 $y = x^{2}$ と置いた後、 $y$ の正負と重複が $x$ の解の個数にどう対応するかを丁寧に見る問題である。 $2 < k < 3$ では正の相異なる2解が続くため固定状態になる。一方、端点 $k = 3$ では初回に重解が出るため挙動が変わり、周期3になる。境界値を通常の場合に混ぜないことが大切である。

出典: 東北大学 2018年度後期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

方針

解答

別解

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東北大学 2018年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第2問