東北大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)

点 $\alpha$ は原点を直線 $l$ に関して対称移動した点である。したがって $l$ は線分 $0\alpha$ の垂直二等分線であり、$z\in l$ なら$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }z-\alpha \mathrm{\mid }$$である。両辺を2乗すると$$z\bar{z}=(z-\alpha )(\bar{z}-\bar{\alpha })\mathrm{.}$$展開して共通項 $z\bar{z}$ を消せば$$\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$$を得る。

(2)

同様に直線 $m$ の方程式は$$\bar{\beta }z+\beta \bar{z}=\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2$$である。したがって交点は$$\{\begin{array}{l}\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2,\\ \bar{\beta }z+\beta \bar{z}=\mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2\end{array}$$の解である。係数の行列式は$$\bar{\alpha }\beta -\alpha \bar{\beta }=2i\mathrm{Im}(\bar{\alpha }\beta )\mathrm{.}$$よって一意な解をもつ条件は $\bar{\alpha }\beta$ が実数でないことである。行列式が0なら2直線の法線方向が平行であり、$l,m$ は異なる直線なので交点をもたない。したがってこの条件は必要十分である。

連立方程式を消去すると、交点を表す複素数は$$z=\frac{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2\beta -\alpha \mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2}{\bar{\alpha }\beta -\alpha \bar{\beta }}$$である。

$\alpha =a+bi,\beta =c+di,z=x+yi$ と実部・虚部に分ける。(1) の式が実座標で法線 $(a,b)$ をもつ直線になることを示し、2法線が平行でない条件を $\mathrm{Im}(\bar{\alpha }\beta )\mathrm{\ne }0$ と結び付ける。

(1) $$\alpha =a+bi,z=x+yi$$とおくと、$$\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}=2(ax+by)\mathrm{.}$$線分 $0\alpha$ の中点は $(a\mathrm{/}2,b\mathrm{/}2)$、方向ベクトルは $(a,b)$ である。したがってその垂直二等分線 $l$ は$$a(x-\frac{a}{2})+b(y-\frac{b}{2})=0,$$すなわち$$2(ax+by)=a^2+b^2=\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$$と表される。よって所望の式が成り立つ。

(2) $$\beta =c+di$$とおくと、2直線は$$ax+by=\frac{a^2+b^2}{2},cx+dy=\frac{c^2+d^2}{2}$$である。異なる2直線が交点をもつための必要十分条件は法線ベクトル $(a,b),(c,d)$ が平行でないこと、すなわち$$ad-bc\mathrm{\ne }0$$である。一方$$\bar{\alpha }\beta =(a-bi)(c+di)=ac+bd+i(ad-bc)$$なので、これは $\bar{\alpha }\beta$ が実数でない条件と一致する。

実連立方程式を解いて $x+yi$ に戻すか、(1) の複素数表示を消去すれば$$z=\frac{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2\beta -\alpha \mathrm{\mid }\beta {\mathrm{\mid }}^2}{\bar{\alpha }\beta -\alpha \bar{\beta }}$$を得る。分母の虚部が非零であるため、この値は一意に定まる。