東北大学 2020年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

複素数平面上の原点を通らない異なる2直線 $l$ ， $m$ に関して，原点と対称な点をそれぞれ $α$ ， $β$ とする。

(1) 直線 $l$ 上の点 $z$ は常に， $\overline{α} z + α \overline{z} = ∣ α ∣^{2}$ を満たすことを示せ。

(2) $\overline{α} β$ が実数でないことが， $l$ と $m$ が交点をもつための必要十分条件であることを示せ。また， $l$ と $m$ が交点をもつとき，交点を $α$ ， $β$ を用いて表せ。

出典：東北大学 2020年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

解法1（垂直二等分線を複素数方程式にする方法）

反射点 $α$ の定義から、直線 $l$ は線分 $0 α$ の垂直二等分線である。距離条件 $∣ z ∣ = ∣ z - α ∣$ を展開して直線の式を作る。(2) は $z, \overline{z}$ の連立一次方程式として解き、分母の非零条件を幾何的にも確認する。

解法2（実座標の法線ベクトルで考える方法）

$α = a + bi, β = c + d i, z = x + y i$ と実部・虚部に分ける。(1) の式が実座標で法線 $(a, b)$ をもつ直線になることを示し、2法線が平行でない条件を $Im (\overline{α} β) \neq = 0$ と結び付ける。

解答

解法1（垂直二等分線を複素数方程式にする方法）

(1)

点 $α$ は原点を直線 $l$ に関して対称移動した点である。したがって $l$ は線分 $0 α$ の垂直二等分線であり、 $z \in l$ なら

∣ z ∣ = ∣ z - α ∣

である。両辺を2乗すると

z \overline{z} = (z - α) (\overline{z} - \overline{α}) .

展開して共通項 $z \overline{z}$ を消せば

\overline{α} z + α \overline{z} = ∣ α ∣^{2}

を得る。

(2)

同様に直線 $m$ の方程式は

\overline{β} z + β \overline{z} = ∣ β ∣^{2}

である。したがって交点は

{\overline{α} z + α \overline{z} = ∣ α ∣^{2}, \overline{β} z + β \overline{z} = ∣ β ∣^{2}

の解である。係数の行列式は

\overline{α} β - α \overline{β} = 2 i Im (\overline{α} β) .

よって一意な解をもつ条件は $\overline{α} β$ が実数でないことである。行列式が0なら2直線の法線方向が平行であり、 $l, m$ は異なる直線なので交点をもたない。したがってこの条件は必要十分である。

連立方程式を消去すると、交点を表す複素数は

z = \frac{∣ α ∣ ^{2} β - α ∣ β ∣ ^{2}}{α β - α β}

である。

解法2（実座標の法線ベクトルで考える方法）

(1)

α = a + bi, z = x + y i

とおくと、

\overline{α} z + α \overline{z} = 2 (a x + b y) .

線分 $0 α$ の中点は $(a /2, b /2)$ 、方向ベクトルは $(a, b)$ である。したがってその垂直二等分線 $l$ は

a (x - \frac{a}{2}) + b (y - \frac{b}{2}) = 0,

すなわち

2 (a x + b y) = a^{2} + b^{2} = ∣ α ∣^{2}

と表される。よって所望の式が成り立つ。

(2)

β = c + d i

とおくと、2直線は

a x + b y = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}, c x + d y = \frac{c ^{2} + d ^{2}}{2}

である。異なる2直線が交点をもつための必要十分条件は法線ベクトル $(a, b), (c, d)$ が平行でないこと、すなわち

a d - b c \neq = 0

である。一方

\overline{α} β = (a - bi) (c + d i) = a c + b d + i (a d - b c)

なので、これは $\overline{α} β$ が実数でない条件と一致する。

実連立方程式を解いて $x + y i$ に戻すか、(1) の複素数表示を消去すれば

z = \frac{∣ α ∣ ^{2} β - α ∣ β ∣ ^{2}}{α β - α β}

を得る。分母の虚部が非零であるため、この値は一意に定まる。

東北大学 2020年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解法1（垂直二等分線を複素数方程式にする方法）

解法2（実座標の法線ベクトルで考える方法）

解答

解法1（垂直二等分線を複素数方程式にする方法）

(1)

(2)

解法2（実座標の法線ベクトルで考える方法）

(1)

(2)

東北大学 2020年度
後期・理系数学後期第5問