東北大学 2020年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$c = \frac{20 - 526}{6}$ として，数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ を

a_{k} = \int_{c}^{k} (12 x - 40) d x

で定め， $n = 1, 2, 3, \dots$ に対し，

S_{n} = k = 1 \sum n a_{k}

とおく。

(1) $S_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

(2) $S_{n}$ の最小値を求めよ。

出典：東北大学 2020年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

定数 $c$ が満たす二次方程式を先に取り出し、定積分を $k$ の二次式にする。(1) で和の公式により $S_{n}$ を求め、(2) は $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ の符号変化から最小項を決める。

(1) で得た三次式 $S_{n}$ を用い、候補 $n = 7$ の値との差 $S_{n} - S_{7}$ を因数分解する。整数 $n ≧ 1$ を $1 ≦ n ≦ 6$ , $n = 7$ , $n ≧ 8$ に分けて差が非負であることを直接示す。

c = \frac{20 - 526}{6}

は方程式

6 c^{2} - 40 c - 21 = 0

を満たす。したがって

a_{k} = \int_{c}^{k} (12 x - 40) d x = [6 x^{2} - 40 x]_{c}^{k} = 6 k^{2} - 40 k - (6 c^{2} - 40 c) = 6 k^{2} - 40 k - 21.

よって

S_{n} = k = 1 \sum n (6 k^{2} - 40 k - 21) = 6 \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - 40 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} - 21 n = n (2 n^{2} - 17 n - 40) .

S_{n} - S_{n - 1} = a_{n} = 6 n^{2} - 40 n - 21.

この二次式の正の解は

\frac{20 + 526}{6}

であり、 $7 < \frac{20 + 526}{6} < 8$ である。実際

a_{7} = - 7 < 0, a_{8} = 43 > 0.

したがって $S_{n}$ は $n = 7$ まで減少し、 $n = 7$ から $n = 8$ に移ると増加へ転じる。最小値は

S_{7} = 7 (98 - 119 - 40) = - 427

であり、 $n = 7$ のときにとる。

$6 c^{2} - 40 c = 21$ を使うと

a_{k} = [6 x^{2} - 40 x]_{c}^{k} = 6 k^{2} - 40 k - 21.

したがって

S_{n} = k = 1 \sum n (6 k^{2} - 40 k - 21) = n (2 n^{2} - 17 n - 40) .

$S_{7} = - 427$ である。一般の $n ≧ 1$ について

S_{n} - S_{7} = 2 n^{3} - 17 n^{2} - 40 n + 427 = (n - 7) (2 n^{2} - 3 n - 61) .

$1 ≦ n ≦ 6$ では $n - 7 < 0$ であり、

2 n^{2} - 3 n - 61 ≦ 2 \cdot 6^{2} - 3 \cdot 6 - 61 = - 7 < 0

だから積は正である。 $n = 7$ では差は0である。 $n ≧ 8$ では $n - 7 > 0$ かつ

2 n^{2} - 3 n - 61 ≧ 2 \cdot 8^{2} - 3 \cdot 8 - 61 = 43 > 0

だから積は正である。よってすべての正の整数 $n$ で

S_{n} ≧ S_{7} = - 427

となり、最小値は $- 427$ である。