東北大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$c=\frac{20-\sqrt{526}}{6}$$は方程式$$6c^2-40c-21=0$$を満たす。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_k}& {\displaystyle ={\int }_c^k(12x-40)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[6x^2-40x]}_c^k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6k^2-40k-(6c^2-40c)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6k^2-40k-21.}\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n(6k^2-40k-21)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-40\cdot \frac{n(n+1)}{2}-21n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n(2n^2-17n-40)\mathrm{.}}\end{array}$$(2)$$S_n-S_{n-1}=a_n=6n^2-40n-21.$$この二次式の正の解は$$\frac{20+\sqrt{526}}{6}$$であり、$$7<{\displaystyle \frac{20+\sqrt{526}}{6}}<8$$ である。実際$$a_7=-7<0,a_8=43>0.$$したがって $S_n$ は $n=7$ まで減少し、$n=7$ から $n=8$ に移ると増加へ転じる。最小値は$$S_7=7(98-119-40)=-427$$であり、$n=7$ のときにとる。

(1) で得た三次式 $S_n$ を用い、候補 $n=7$ の値との差 $S_n-S_7$ を因数分解する。整数 $n\geqq 1$ を $1\leqq n\leqq 6$, $n=7$, $n\geqq 8$ に分けて差が非負であることを直接示す。

(1)

$6c^2-40c=21$ を使うと$$a_k={[6x^2-40x]}_c^k=6k^2-40k-21.$$したがって$$S_n=\sum _{k=1}^n(6k^2-40k-21)=n(2n^2-17n-40)\mathrm{.}$$(2)

$S_7=-427$ である。一般の $n\geqq 1$ について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n-S_7}& {\displaystyle =2n^3-17n^2-40n+427}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(n-7)(2n^2-3n-61)\mathrm{.}}\end{array}$$$1\leqq n\leqq 6$ では $n-7<0$ であり、$$2n^2-3n-61\leqq 2\cdot 6^2-3\cdot 6-61=-7<0$$だから積は正である。$n=7$ では差は0である。$n\geqq 8$ では $n-7>0$ かつ$$2n^2-3n-61\geqq 2\cdot 8^2-3\cdot 8-61=43>0$$だから積は正である。よってすべての正の整数 $n$ で$$S_n\geqq S_7=-427$$となり、最小値は $-427$ である。