東北大学 2020年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

(1) 関数 $f (x) = tan x$ $(- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2})$ の逆関数 $f^{- 1} (x)$ の導関数を求めよ。

(2) 正の整数 $n$ に対して

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}}

とおく。このとき， $I_{n + 1}$ を $I_{n}$ を用いて表せ。

(3) 定積分

\int_{0}^{1} \frac{d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}}

の値を求めよ。

出典：東北大学 2020年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

解法1（微分恒等式から漸化式を作る方法）

(1) は $y = tan u$ を $x$ で微分して逆関数の導関数を導く。(2) は $x / (1 + x^{2})^{n}$ を微分すると $I_{n}, I_{n + 1}$ が同時に現れることを利用する。(3) は $I_{1} = π /4$ から漸化式を2回用いる。

解法2（三角置換と余弦べき積分を使う方法）

$x = tan θ$ により $I_{n}$ を余弦のべき積分へ変換し、部分積分で漸化式を得る。(3) は $cos^{4} θ$ の倍角公式で直接計算する。

解答

解法1（微分恒等式から漸化式を作る方法）

(1)

$u = f^{- 1} (x)$ とおくと

x = tan u, - \frac{π}{2} < u < \frac{π}{2} .

両辺を $x$ で微分して

1 = \frac{1}{cos ^{2} u} \frac{d u}{d x}

である。したがって

\frac{d u}{d x} = cos^{2} u = \frac{1}{1 + tan ^{2} u} = \frac{1}{1 + x ^{2}} .

よって

(f^{- 1})^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} .

(2)

{\frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}}}^{'} = \frac{1 + ( 1 - 2 n ) x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{n + 1}} .

これを $0$ から $1$ まで積分すると左辺は $2^{- n}$ である。また

\frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{n + 1}} = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}} - \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{n + 1}}

だから、右辺は

I_{n + 1} + (1 - 2 n) (I_{n} - I_{n + 1}) = 2 n I_{n + 1} - (2 n - 1) I_{n} .

よって

I_{n + 1} = \frac{2 n - 1}{2 n} I_{n} + \frac{1}{n 2 ^{n + 1}} .

(3)

(1) より

I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = [f^{- 1} (x)]_{0}^{1} = \frac{π}{4} .

(2) に $n = 1, 2$ を順に代入すると

I_{2} = \frac{1}{2} I_{1} + \frac{1}{4} = \frac{π}{8} + \frac{1}{4},

I_{3} = \frac{3}{4} I_{2} + \frac{1}{16} = \frac{3 π}{32} + \frac{1}{4} .

したがって求める値は

\frac{3 π}{32} + \frac{1}{4}

である。

解法2（三角置換と余弦べき積分を使う方法）

(1)

$f (f^{- 1} (x)) = x$ を微分すると

f^{'} (f^{- 1} (x)) (f^{- 1})^{'} (x) = 1.

$f^{'} (u) = 1/ cos^{2} u$ かつ $tan (f^{- 1} (x)) = x$ だから

(f^{- 1})^{'} (x) = cos^{2} (f^{- 1} (x)) = \frac{1}{1 + x ^{2}} .

(2)

$x = tan θ$ とおくと

I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} cos^{2 n - 2} θ d θ .

J_{m} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} cos^{m} θ d θ

とおけば、部分積分により

J_{m} = [\frac{sin θ cos ^{m - 1} θ}{m}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{m - 1}{m} J_{m - 2} .

$m = 2 n$ とし、 $J_{2 n} = I_{n + 1}, J_{2 n - 2} = I_{n}$ を使うと

I_{n + 1} = \frac{2 n - 1}{2 n} I_{n} + \frac{1}{n 2 ^{n + 1}} .

(3)

I_{3} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} cos^{4} θ d θ = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{3 + 4 cos 2 θ + cos 4 θ}{8} d θ = \frac{3 π}{32} + \frac{1}{4} .

東北大学 2020年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解法1（微分恒等式から漸化式を作る方法）

解法2（三角置換と余弦べき積分を使う方法）

解答

解法1（微分恒等式から漸化式を作る方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（三角置換と余弦べき積分を使う方法）

(1)

(2)

(3)

東北大学 2020年度
後期・理系数学後期第6問