東北大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1)

$u=f^{-1}(x)$ とおくと$$x=\tan u,-\frac{\pi }{2}<u<\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$両辺を $x$ で微分して$$1=\frac{1}{{\cos }^{2}u}\frac{du}{dx}$$である。したがって$$\frac{du}{dx}={\cos }^{2}u=\frac{1}{1+{\tan }^{2}u}=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{.}$$よって$$(f^{-1}{)}^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{.}$$(2)$${\left\{\frac{x}{(1+x^2{)}^n}\right\}}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1+(1-2n)x^2}{(1+x^2{)}^{n+1}}\mathrm{.}$$これを $0$ から $1$ まで積分すると左辺は $2^{-n}$ である。また$$\frac{x^2}{(1+x^2{)}^{n+1}}=\frac{1}{(1+x^2{)}^n}-\frac{1}{(1+x^2{)}^{n+1}}$$だから、右辺は$$I_{n+1}+(1-2n)(I_n-I_{n+1})=2n{I}_{n+1}-(2n-1)I_n\mathrm{.}$$よって$$I_{n+1}=\frac{2n-1}{2n}{I}_n+\frac{1}{n{2}^{n+1}}\mathrm{.}$$(3)

(1) より$$I_1={\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}={[f^{-1}(x)]}_0^1=\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$(2) に $n=1,2$ を順に代入すると$$I_2=\frac{1}{2}{I}_1+\frac{1}{4}=\frac{\pi }{8}+\frac{1}{4},$$$$I_3=\frac{3}{4}{I}_2+\frac{1}{16}=\frac{3\pi }{32}+\frac{1}{4}\mathrm{.}$$したがって求める値は$$\frac{3\pi }{32}+\frac{1}{4}$$である。

$x=\tan \theta$ により $I_n$ を余弦のべき積分へ変換し、部分積分で漸化式を得る。(3) は ${\cos }^4\theta$ の倍角公式で直接計算する。

(1)

$f(f^{-1}(x))=x$ を微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(f^{-1}(x))(f^{-1}{)}^{\mathrm{\prime }}(x)=1.$$$f^{\mathrm{\prime }}(u)=1\mathrm{/}{\cos }^{2}u$ かつ $\tan (f^{-1}(x))=x$ だから$$(f^{-1}{)}^{\mathrm{\prime }}(x)={\cos }^2(f^{-1}(x))=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{.}$$(2)

$x=\tan \theta$ とおくと$$I_n={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\cos }^{2n-2}\theta d\theta \mathrm{.}$$$$J_m={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\cos }^m\theta d\theta$$とおけば、部分積分により$$J_m={\left[\frac{\sin \theta {\cos }^{m-1}\theta }{m}\right]}_0^{\frac{\pi }{4}}+\frac{m-1}{m}{J}_{m-2}\mathrm{.}$$$m=2n$ とし、$$J_{2n}=I_{n+1},J_{2n-2}=I_n$$ を使うと$$I_{n+1}=\frac{2n-1}{2n}{I}_n+\frac{1}{n{2}^{n+1}}\mathrm{.}$$(3)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_3}& {\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\cos }^4\theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{3\pi }{32}+\frac{1}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$