東北大学 2020年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

$A B = 1$ ， $A C = 1$ ， $B C = \frac{1}{2}$ である $△ A B C$ の頂点 $B$ から辺 $A C$ に下ろした垂線と辺 $A C$ との交点を $H$ とする。

(1) $∠ B A C$ を $θ$ と表すとき， $cos θ$ ， $sin θ$ の値を求めよ。

(2) 実数 $s$ は $0 < s < 1$ の範囲を動くとする。辺 $B H$ を $s : 1 - s$ に内分する点を $P$ とするとき， $A P^{2} + B P^{2} + C P^{2}$ の最小値およびそのときの $s$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

(1) は余弦定理で $cos θ$ を求める。(2) は $A C$ を $x$ 軸上に置き、 $B, H, P$ の座標を $s$ で表す。3つの距離の平方を加え、平方完成する。

三角形の重心を $G$ とし、恒等式 $P A^{2} + P B^{2} + P C^{2} = 3 P G^{2} + (A B^{2} + B C^{2} + C A^{2}) /3$ を用いる。 $P$ が $B H$ 上を動くので $P G^{2}$ を平方完成する。

余弦定理より

cos θ = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 A B \cdot A C} = \frac{1 + 1 - \frac{1}{4}}{2} = \frac{7}{8} .

$0 < θ < π$ だから

sin θ = 1 - cos^{2} θ = \frac{15}{8} .

A = (0, 0), C = (1, 0)

とおく。(1) より

B = (\frac{7}{8}, \frac{15}{8}), H = (\frac{7}{8}, 0) .

$B P : P H = s : 1 - s$ だから

P = (\frac{7}{8}, \frac{( 1 - s ) 15}{8}) .

したがって

A P^{2} = \frac{49 + 15 ( 1 - s ) ^{2}}{64},

B P^{2} = \frac{15 s ^{2}}{64},

C P^{2} = \frac{1 + 15 ( 1 - s ) ^{2}}{64} .

これらを加えると

A P^{2} + B P^{2} + C P^{2} = \frac{49 + 1 + 30 ( 1 - s ) ^{2} + 15 s ^{2}}{64} = \frac{15}{16} + \frac{5}{64} (3 s - 2)^{2} .

$0 < s < 1$ に $s = 2/3$ は含まれるので、最小値は

\frac{15}{16}

であり、そのとき

s = \frac{2}{3}

である。

余弦定理により

cos θ = \frac{7}{8}, sin θ = \frac{15}{8} .

$A = (0, 0), C = (1, 0)$ とすると

B = (\frac{7}{8}, \frac{15}{8}), P = (\frac{7}{8}, \frac{( 1 - s ) 15}{8}) .

三角形 $A B C$ の重心を $G$ とすると

G = (\frac{5}{8}, \frac{15}{24}) .

任意の点 $P$ について

P A^{2} + P B^{2} + P C^{2} = 3 P G^{2} + \frac{A B ^{2} + B C ^{2} + C A ^{2}}{3}

が成り立つ。ここで

\frac{A B ^{2} + B C ^{2} + C A ^{2}}{3} = \frac{1 + \frac{1}{4} + 1}{3} = \frac{3}{4} .

また

P G^{2} = (\frac{7}{8} - \frac{5}{8})^{2} + (\frac{( 1 - s ) 15}{8} - \frac{15}{24})^{2} = \frac{1}{16} + \frac{15 ( 2 - 3 s ) ^{2}}{576} .

したがって

P A^{2} + P B^{2} + P C^{2} = \frac{15}{16} + \frac{5}{64} (2 - 3 s)^{2} .

よって最小値は $15/16$ 、そのとき $s = 2/3$ である。