東北大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

余弦定理より$$\cos \theta =\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC}=\frac{1+1-\frac{1}{4}}{2}=\frac{7}{8}\mathrm{.}$$$0<\theta <\pi$ だから$$\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\frac{\sqrt{15}}{8}\mathrm{.}$$(2)$$A=(0,0),C=(1,0)$$とおく。(1) より$$B=(\frac{7}{8},\frac{\sqrt{15}}{8}),H=(\frac{7}{8},0)\mathrm{.}$$$BP:PH=s:1-s$ だから$$P=(\frac{7}{8},\frac{(1-s)\sqrt{15}}{8})\mathrm{.}$$したがって$$A{P}^2=\frac{49+15(1-s{)}^2}{64},$$$$B{P}^2=\frac{15s^2}{64},$$$$C{P}^2=\frac{1+15(1-s{)}^2}{64}\mathrm{.}$$これらを加えると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{P}^2+B{P}^2+C{P}^2}& {\displaystyle =\frac{49+1+30(1-s{)}^2+15s^2}{64}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{15}{16}+\frac{5}{64}(3s-2{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$$0<s<1$ に $s=2\mathrm{/}3$ は含まれるので、最小値は$$\frac{15}{16}$$であり、そのとき$$s=\frac{2}{3}$$である。

三角形の重心を $G$ とし、恒等式 $P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=3P{G}^2+(A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2)\mathrm{/}3$ を用いる。$P$ が $BH$ 上を動くので $P{G}^2$ を平方完成する。

(1)

余弦定理により$$\cos \theta =\frac{7}{8},\sin \theta =\frac{\sqrt{15}}{8}\mathrm{.}$$(2)

$A=(0,0),C=(1,0)$ とすると$$B=(\frac{7}{8},\frac{\sqrt{15}}{8}),P=(\frac{7}{8},\frac{(1-s)\sqrt{15}}{8})\mathrm{.}$$三角形 $ABC$ の重心を $G$ とすると$$G=(\frac{5}{8},\frac{\sqrt{15}}{24})\mathrm{.}$$任意の点 $P$ について$$P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=3P{G}^2+\frac{A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2}{3}$$が成り立つ。ここで$$\frac{A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2}{3}=\frac{1+\frac{1}{4}+1}{3}=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{G}^2}& {\displaystyle ={(\frac{7}{8}-\frac{5}{8})}^2+{(\frac{(1-s)\sqrt{15}}{8}-\frac{\sqrt{15}}{24})}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{16}+\frac{15(2-3s{)}^2}{576}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2=\frac{15}{16}+\frac{5}{64}(2-3s{)}^2\mathrm{.}$$よって最小値は $15\mathrm{/}16$、そのとき $s=2\mathrm{/}3$ である。