東北大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

2回後に白玉が2個あるには、2回とも表が出て、白玉を続けて2個取り出す必要がある。よって$$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{4}=\frac{3}{40}\mathrm{.}$$(2)

3回中ちょうど2回表が出る確率は$${}_3{\mathrm{C}}_2{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\mathrm{.}$$表が出た2回で残る玉が白1個、赤1個となる条件付き確率は$$\frac{{}_3{\mathrm{C}}_1{}_2{\mathrm{C}}_1}{{}_5{\mathrm{C}}_2}=\frac{3}{5}\mathrm{.}$$したがって求める確率は$${}_3{\mathrm{C}}_2{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\frac{3}{5}=\frac{9}{40}\mathrm{.}$$(3)

箱が空になるのは5回目の表が出た直後である。ちょうど $n$ 回目に停止するには、最初の $n-1$ 回で表が4回、$n$ 回目に表が出ればよい。よって$$p_n={}_{n-1}{\mathrm{C}}_4{\left(\frac{1}{2}\right)}^n(n\geqq 5)\mathrm{.}$$(4)$$\frac{p_{n+1}}{p_n}=\frac{1}{2}\frac{{}_n{\mathrm{C}}_4}{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_4}=\frac{n}{2n-8}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{cc}n<8& p_{n+1}>p_n\\ n=8& p_{n+1}=p_n\\ n>8& p_{n+1}<p_n\end{array}$$である。よって最大となるのは$$n=8,9$$である。

5個の玉を区別して考える。硬貨の表が出るたび、箱内の玉から1個が一様に確定して除かれるので、色は無作為な非復元抽出、停止時刻は5回目の表の時刻として分離できる。(4) は $p_{n+1}-p_n$ の符号を直接調べる。

(1)

「最初の2回がともに表」である確率は $1\mathrm{/}4$ である。その条件のもとで、除かれる2個は5個から一様に選ばれるので、ともに白である確率は$$\frac{{}_3{\mathrm{C}}_2}{{}_5{\mathrm{C}}_2}=\frac{3}{10}\mathrm{.}$$よって$$\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{10}=\frac{3}{40}\mathrm{.}$$(2)

3回中表が2回である確率は $3\mathrm{/}8$。その2個が白1個、赤1個である確率は$$\frac{{}_3{\mathrm{C}}_1{}_2{\mathrm{C}}_1}{{}_5{\mathrm{C}}_2}=\frac{3}{5}\mathrm{.}$$よって$$\frac{3}{8}\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{40}\mathrm{.}$$(3)

停止時刻 $n$ は、独立な硬貨投げで5回目の表が出る時刻である。最後の1回を表に固定し、それ以前に4回の表を置く位置を選べば$$p_n={}_{n-1}{\mathrm{C}}_4{2}^{-n}\mathrm{.}$$(4)

比を割らず、差を取ると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{n+1}-p_n}& {\displaystyle =\frac{{}_n{\mathrm{C}}_4-2{}_{n-1}{\mathrm{C}}_4}{2^{n+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_3-{}_{n-1}{\mathrm{C}}_4}{2^{n+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_3(8-n)}{2^{n+3}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $n<8$ で正、$n=8$ で0、$n>8$ で負である。したがって最大となる $n$ は$$8,9$$である。