問題
白玉3個，赤玉2個の合計5個の玉が入った箱と硬貨がある。箱から無作為に玉を1個取り出し，硬貨を投げて表が出たら，その玉を手元に残し，裏が出たら箱に戻す試行を行う。試行後に箱の中の玉がなくなったら試行は停止する。また，最初手元に玉はないものとする。
(1) 2回の試行の結果，手元に白玉が2個ある確率を求めよ。
(2) 3回の試行の結果，手元の玉が白玉1個，赤玉1個の計2個となる確率を求めよ。
(3) を5以上の整数とし，ちょうど回目で試行が停止する確率を求めよ。
(4) (3)の確率が最大となるを求めよ。
方針
解法1（硬貨の表の回数と残る玉の色を分ける方法）
硬貨が表のときだけ玉が減るので、まず表の回数を数える。表になった試行で残る玉は、元の5個から非復元で抽出される。(3) は 回目が5回目の表となる確率、(4) は隣接項の比で最大を判定する。
解法2（負の二項分布と隣接差を使う方法）
5個の玉を区別して考える。硬貨の表が出るたび、箱内の玉から1個が一様に確定して除かれるので、色は無作為な非復元抽出、停止時刻は5回目の表の時刻として分離できる。(4) は の符号を直接調べる。
解答
解法1（硬貨の表の回数と残る玉の色を分ける方法）
(1)
2回後に白玉が2個あるには、2回とも表が出て、白玉を続けて2個取り出す必要がある。よって
(2)
3回中ちょうど2回表が出る確率は
表が出た2回で残る玉が白1個、赤1個となる条件付き確率は
したがって求める確率は
(3)
箱が空になるのは5回目の表が出た直後である。ちょうど 回目に停止するには、最初の 回で表が4回、 回目に表が出ればよい。よって
(4)
したがって
である。よって最大となるのは
である。
解法2（負の二項分布と隣接差を使う方法）
(1)
「最初の2回がともに表」である確率は である。その条件のもとで、除かれる2個は5個から一様に選ばれるので、ともに白である確率は
よって
(2)
3回中表が2回である確率は 。その2個が白1個、赤1個である確率は
よって
(3)
停止時刻 は、独立な硬貨投げで5回目の表が出る時刻である。最後の1回を表に固定し、それ以前に4回の表を置く位置を選べば
(4)
比を割らず、差を取ると
よって で正、 で0、 で負である。したがって最大となる は
である。