東北大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$z=-\frac{1}{t+i}=-\frac{t-i}{t^2+1}=-\frac{t}{t^2+1}+i\frac{1}{t^2+1}\mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{Re}z=-\frac{t}{t^2+1},\mathrm{Im}z=\frac{1}{t^2+1}\mathrm{.}$$(2)$$z-\frac{i}{2}=-\frac{t}{t^2+1}+i\frac{1-t^2}{2(t^2+1)}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\mid z-\frac{i}{2}\mid }^2}& {\displaystyle =\frac{t^2}{(t^2+1{)}^2}+\frac{(1-t^2{)}^2}{4(t^2+1{)}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(t^2+1{)}^2}{4(t^2+1{)}^2}=\frac{1}{4}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\mid z-\frac{i}{2}\mid =\frac{1}{2}\mathrm{.}$$(3)

$z=x+iy$ とすると(2)より$$x^2+{(y-\frac{1}{2})}^2=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$また $-1\leqq t\leqq 1$ では$$y=\frac{1}{t^2+1}\geqq \frac{1}{2}\mathrm{.}$$端点と中央では$$t=-1:z=\frac{1}{2}+\frac{i}{2},t=0:z=i,t=1:z=-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\mathrm{.}$$よって、中心 $i\mathrm{/}2$、半径 $1\mathrm{/}2$ の円の上半円弧であり、両端を含む。

$1\mathrm{/}z=-(t+i)$ と変形すると、その虚部が常に $-1$ である。$z=x+iy$ を代入して円の方程式を得る。$t$ の範囲から虚部の範囲を調べ、円弧を限定する。

(1)

実数化により$$z=-\frac{t}{t^2+1}+i\frac{1}{t^2+1}\mathrm{.}$$よって実部と虚部はそれぞれ$$-\frac{t}{t^2+1},\frac{1}{t^2+1}$$である。

(2) $$\frac{1}{z}=-(t+i)$$だから$$\mathrm{Im}\left(\frac{1}{z}\right)=-1.$$$z=x+iy$ とおくと$$\frac{1}{z}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$$なので$$-\frac{y}{x^2+y^2}=-1.$$したがって$$x^2+y^2=y⟺x^2+{(y-\frac{1}{2})}^2=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$これは$$\mid z-\frac{i}{2}\mid =\frac{1}{2}$$を意味する。

(3)

$-1\leqq t\leqq 1$ より$$\frac{1}{2}\leqq \mathrm{Im}z\leqq 1.$$したがって軌跡は上半円弧である。端点は $t=-1,1$ に対応して含まれ、$t=0$ で上端 $i$ を通る。