東北大学 2020年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

実数 $t$ に対して複素数 $z = \frac{- 1}{t + i}$ を考える。ただし， $i$ は虚数単位とする。

(1) $z$ の実部と虚部をそれぞれ $t$ を用いて表せ。

(2) 絶対値 $z - \frac{i}{2}$ を求めよ。

(3) 実数 $t$ が $- 1 ≦ t ≦ 1$ の範囲を動くとき，点 $z$ はどのような図形を描くか，複素数平面上に図示せよ。

出典：東北大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

解法1（実部・虚部を直接計算する方法）

分母を実数化して $z = x + i y$ の $x, y$ を求める。(2) は $z - i /2$ の絶対値を直接計算する。(3) は円の方程式と $t$ の端点・中点を使って、どちら側の半円弧かを決める。

解法2（反転後の虚部を使う方法）

$1/ z = - (t + i)$ と変形すると、その虚部が常に $- 1$ である。 $z = x + i y$ を代入して円の方程式を得る。 $t$ の範囲から虚部の範囲を調べ、円弧を限定する。

解答

解法1（実部・虚部を直接計算する方法）

(1)

z = - \frac{1}{t + i} = - \frac{t - i}{t ^{2} + 1} = - \frac{t}{t ^{2} + 1} + i \frac{1}{t ^{2} + 1} .

したがって

Re z = - \frac{t}{t ^{2} + 1}, Im z = \frac{1}{t ^{2} + 1} .

(2)

z - \frac{i}{2} = - \frac{t}{t ^{2} + 1} + i \frac{1 - t ^{2}}{2 ( t ^{2} + 1 )} .

よって

z - \frac{i}{2}^{2} = \frac{t ^{2}}{( t ^{2} + 1 ) ^{2}} + \frac{( 1 - t ^{2} ) ^{2}}{4 ( t ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{( t ^{2} + 1 ) ^{2}}{4 ( t ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{1}{4} .

したがって

z - \frac{i}{2} = \frac{1}{2} .

(3)

$z = x + i y$ とすると(2)より

x^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} .

また $- 1 ≦ t ≦ 1$ では

y = \frac{1}{t ^{2} + 1} ≧ \frac{1}{2} .

端点と中央では

t = - 1 : z = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, t = 0 : z = i, t = 1 : z = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2} .

よって、中心 $i /2$ 、半径 $1/2$ の円の上半円弧であり、両端を含む。

解法2（反転後の虚部を使う方法）

(1)

実数化により

z = - \frac{t}{t ^{2} + 1} + i \frac{1}{t ^{2} + 1} .

よって実部と虚部はそれぞれ

- \frac{t}{t ^{2} + 1}, \frac{1}{t ^{2} + 1}

である。

(2)

\frac{1}{z} = - (t + i)

だから

Im (\frac{1}{z}) = - 1.

$z = x + i y$ とおくと

\frac{1}{z} = \frac{x - i y}{x ^{2} + y ^{2}}

なので

- \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} = - 1.

したがって

x^{2} + y^{2} = y ⟺ x^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} .

これは

z - \frac{i}{2} = \frac{1}{2}

を意味する。

(3)

$- 1 ≦ t ≦ 1$ より

\frac{1}{2} ≦ Im z ≦ 1.

したがって軌跡は上半円弧である。端点は $t = - 1, 1$ に対応して含まれ、 $t = 0$ で上端 $i$ を通る。

東北大学 2020年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解法1（実部・虚部を直接計算する方法）

解法2（反転後の虚部を使う方法）

解答

解法1（実部・虚部を直接計算する方法）

(1)

(2)

(3)

解法2（反転後の虚部を使う方法）

(1)

(2)

(3)

東北大学 2020年度
理系数学前期第5問