東北大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $$u={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x$$ とおくと $$\cos x=\sin u,\sin x=\cos u$$ であり、$$A(m,n)=A(n,m)\mathrm{.}$$また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle A(m+2,n)+A(m,n+2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m}x{\sin }^{n}x({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =A(m,n)\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

$u=\cos x$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(m,1)}& {\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m}x\sin xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1{u}^{m}du=\frac{1}{m+1}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)$$A(m,n+2)={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m}x{\sin }^{n+1}x\sin xdx\mathrm{.}$$$$d({\cos }^{m+1}x)=-(m+1){\cos }^{m}x\sin xdx$$ を用いて部分積分する。境界項は0なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(m,n+2)}& {\displaystyle =\frac{n+1}{m+1}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m+2}x{\sin }^{n}xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{n+1}{m+1}A(m+2,n)\mathrm{.}}\end{array}$$(4)

対称性により、必要なら $m,n$ を入れ替えて $n=2r+1$ が奇数であるとしてよい。(3)を繰り返すと$$A(m,2r+1)=\frac{2r}{m+1}\frac{2r-2}{m+3}\cdots \frac{2}{m+2r-1}A(m+2r,1)\mathrm{.}$$前の係数は有理数であり、(2)より$$A(m+2r,1)=\frac{1}{m+2r+1}$$も有理数である。したがって $A(m,n)$ は有理数である。$r=0$ の場合は(2)そのものである。

(1) 〜(3) の基本関係を示した後、(4) では奇数乗の正弦を $\sin x(1-{\cos }^{2}x{)}^r$ と書く。$u=\cos x$ により有限個の有理数の和へ直接変換する。

(1)

変数変換 $u=\pi \mathrm{/}2-x$ から$$A(m,n)=A(n,m)$$を得る。また ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ を被積分関数へ掛ければ$$A(m+2,n)+A(m,n+2)=A(m,n)$$である。

(2) $$A(m,1)={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m}x\sin xdx=\frac{1}{m+1}\mathrm{.}$$(3)

${\sin }^{n+1}x$ と $d({\cos }^{m+1}x)$ を組にして部分積分すると$$A(m,n+2)=\frac{n+1}{m+1}A(m+2,n)\mathrm{.}$$(4)

$n=2r+1$ が奇数である場合を考える。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A(m,2r+1)}& {\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m}x(1-{\cos }^{2}x{)}^r\sin xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1{u}^m(1-u^2{)}^{r}du\mathrm{.}}\end{array}$$二項展開すると$$A(m,2r+1)=\sum _{j=0}^r(-1{)}^j{}_r{\mathrm{C}}_j\frac{1}{m+2j+1},$$これは有理数である。$m$ が奇数なら(1)の対称性で $m,n$ を入れ替えれば同じ議論が使える。したがって $m,n$ の少なくとも一方が奇数なら $A(m,n)$ は有理数である。