東北大学 2020年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

正の整数 $m, n$ に対して実数 $A (m, n)$ を

A (m, n) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{m} x sin^{n} x d x

で定める。

(1) 次の等式が成り立つことを示せ。

A (m, n) = A (n, m), A (m + 2, n) + A (m, n + 2) = A (m, n) .

(2) $A (m, 1)$ を求めよ。

(3) 次の等式が成り立つことを示せ。

A (m, n + 2) = \frac{n + 1}{m + 1} A (m + 2, n) .

(4) $m$ または $n$ が奇数ならば、 $A (m, n)$ は有理数であることを示せ。

出典：東北大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

解法1（対称性と漸化式を使う方法）

(1) は $u = π /2 - x$ と $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ を使う。(2) は $u = cos x$ で直接積分する。(3) は部分積分で指数を2つ移す。(4) は奇数の指数を(3)で1まで下げ、有理数に帰着する。

解法2（奇数乗を多項式積分へ変換する方法）

(1)〜(3) の基本関係を示した後、(4) では奇数乗の正弦を $sin x (1 - cos^{2} x)^{r}$ と書く。 $u = cos x$ により有限個の有理数の和へ直接変換する。

解答

解法1（対称性と漸化式を使う方法）

(1)

$u = \frac{π}{2} - x$ とおくと $cos x = sin u, sin x = cos u$ であり、

A (m, n) = A (n, m) .

また

A (m + 2, n) + A (m, n + 2) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{m} x sin^{n} x (cos^{2} x + sin^{2} x) d x = A (m, n) .

(2)

$u = cos x$ とおくと

A (m, 1) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{m} x sin x d x = \int_{0}^{1} u^{m} d u = \frac{1}{m + 1} .

(3)

A (m, n + 2) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{m} x sin^{n + 1} x sin x d x .

$d (cos^{m + 1} x) = - (m + 1) cos^{m} x sin x d x$ を用いて部分積分する。境界項は0なので

A (m, n + 2) = \frac{n + 1}{m + 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{m + 2} x sin^{n} x d x = \frac{n + 1}{m + 1} A (m + 2, n) .

(4)

対称性により、必要なら $m, n$ を入れ替えて $n = 2 r + 1$ が奇数であるとしてよい。(3)を繰り返すと

A (m, 2 r + 1) = \frac{2 r}{m + 1} \frac{2 r - 2}{m + 3} \dots \frac{2}{m + 2 r - 1} A (m + 2 r, 1) .

前の係数は有理数であり、(2)より

A (m + 2 r, 1) = \frac{1}{m + 2 r + 1}

も有理数である。したがって $A (m, n)$ は有理数である。 $r = 0$ の場合は(2)そのものである。

解法2（奇数乗を多項式積分へ変換する方法）

(1)

変数変換 $u = π /2 - x$ から

A (m, n) = A (n, m)

を得る。また $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ を被積分関数へ掛ければ

A (m + 2, n) + A (m, n + 2) = A (m, n)

である。

(2)

A (m, 1) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{m} x sin x d x = \frac{1}{m + 1} .

(3)

$sin^{n + 1} x$ と $d (cos^{m + 1} x)$ を組にして部分積分すると

A (m, n + 2) = \frac{n + 1}{m + 1} A (m + 2, n) .

(4)

$n = 2 r + 1$ が奇数である場合を考える。

A (m, 2 r + 1) = \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos^{m} x (1 - cos^{2} x)^{r} sin x d x = \int_{0}^{1} u^{m} (1 - u^{2})^{r} d u .

二項展開すると

A (m, 2 r + 1) = j = 0 \sum r (- 1)^{j}_{r} C_{j} \frac{1}{m + 2 j + 1},

これは有理数である。 $m$ が奇数なら(1)の対称性で $m, n$ を入れ替えれば同じ議論が使える。したがって $m, n$ の少なくとも一方が奇数なら $A (m, n)$ は有理数である。

東北大学 2020年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解法1（対称性と漸化式を使う方法）

解法2（奇数乗を多項式積分へ変換する方法）

解答

解法1（対称性と漸化式を使う方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2（奇数乗を多項式積分へ変換する方法）

(1)

(2)

(3)

(4)

東北大学 2020年度
理系数学前期第6問