Evolton
方針
一次不定方程式 の可解条件は，係数の最大公約数 が右辺 を割り切ることとして考える。(2) では必要性は左辺が常に6の倍数であることから，十分性は として の具体的な整数解を1組作ることで示す。(3) は に直し，合同式から が3の倍数であることを使って正整数解を列挙する。
解答
(1)
必要十分条件は である。
(2)
まず，任意の整数 に対して である。したがって方程式 が整数解をもつなら， は で割り切れなければならない。
逆に， が で割り切れるとする。 とおくと，方程式は すなわち と同値である。ここで とおけば となる。したがって整数解が存在する。以上より，条件は必要十分である。
(3) のとき，方程式は であり，両辺を6で割って となる。これを で割った余りで見ると であり， は と互いに素なので である。
そこで とおくと より である。 が正の整数であるためには が必要である。したがって である。よって求める組は である。
別解
解法2（互除法で一般解を直接作る方法）
方針
互除法から6を48と18の整数係数で表して可解条件を示す。 では1つの解から一般解を作り、正整数条件でパラメータを絞る。
解答
(1) 必要十分条件はである。
(2) 左辺 は常に6の倍数だから必要性は明らかである。逆に互除法よりである。 ならと表せるので、 が整数解になる。よって条件は十分でもある。
(3) の1つの整数解は である。2解の差を取ると だから、一般解はである。正整数条件 から となる。したがって
総評
難度4、計算量3。想定時間は10分程度。一次不定方程式の基本問題であり，係数の最大公約数が右辺を割ることが可解条件になる。(2) では十分性を抽象的に述べるだけでなく，実際に という整数解を作ると明確である。(3) は正整数条件があるため，合同式で を3の倍数に絞ってから有限個を調べる。 最大公約数の定理だけに頼らず、互除法で整数解を実際に構成し、一般解から正整数解の取りこぼしがないことも確認した。