東北大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)
放物線は $y=(x-m{)}^2$ である。$x$ 軸、$y$ 軸とともに囲まれる領域は $$0\leqq x\leqq m,0\leqq y\leqq (m-x{)}^2$$ である。

周上の格子点を、$x$ 軸、$y$ 軸、放物線に分けて数える。$x$ 軸上は $m+1$ 個、$y$ 軸上は $m^2+1$ 個、放物線上は整数 $x=0,1,\dots ,m$ に対して1個ずつあり $m+1$ 個である。3つの頂点 $(0,0),(0,m^2),(m,0)$ を重複して数えているので3を引く。したがって $L_m=m^2+2m$ である。

(2)
整数 $x=0,1,\dots ,m$ を固定すると、$y$ は $0,1,2,\dots ,(m-x{)}^2$ を取り、格子点は $(m-x{)}^2+1$ 個ある。よって $$T_m=\sum _{x=0}^m\{(m-x{)}^2+1\}=\sum _{j=0}^m(j^2+1)$$ である。したがって $$T_m=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+m+1$$ である。

(3)
面積は $S_m={\int }_0^m(m-x{)}^{2}dx$ である。$u=m-x$ と見れば $$S_m={\int }_0^m{u}^{2}du=\frac{m^3}{3}$$ である。

一方、(2)の式を展開すると $$T_m=\frac{m^3}{3}+\frac{m^2}{2}+\frac{7m}{6}+1$$ である。よって$$\frac{T_m}{S_m}=\frac{\frac{m^3}{3}+\frac{m^2}{2}+\frac{7m}{6}+1}{\frac{m^3}{3}}$$であり、$m\to \mathrm{\infty }$ で最高次項の比だけが残る。したがって $$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{T_m}{S_m}=1$$ である。

縦列ごとに格子点を数える。(3)では $T_m\mathrm{/}{m}^3$ をリーマン和として解釈し、面積 $S_m$ の主要項と比較する。

(1)
3つの境界上の格子点を包除原理で数えると$$L_m=(m+1)+(m^2+1)+(m+1)-3=m^2+2m\mathrm{.}$$(2)
$j=0,1,\dots ,m$ に対し、縦線 $x=m-j$ 上の格子点は $j^2+1$ 個である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T_m}& {\displaystyle =\sum _{j=0}^m(j^2+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+m+1.}\end{array}$$(3)
面積は$$S_m={\int }_0^m(m-x{)}^{2}dx=\frac{m^3}{3}\mathrm{.}$$一方、$$\frac{T_m}{m^3}=\frac{1}{m}\sum _{j=0}^m{\left(\frac{j}{m}\right)}^2+\frac{m+1}{m^3}\mathrm{.}$$右辺第1項は $t^2$ のリーマン和、第2項は0に収束するので$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{T_m}{m^3}={\int }_0^1{t}^{2}dt=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$また $S_m\mathrm{/}{m}^3=1\mathrm{/}3$ だから$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{T_m}{S_m}=1.$$