東北大学 2018年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$x y$ 平面において、 $x, y$ がともに整数であるとき、点 $(x, y)$ を格子点とよぶ。 $m$ を正の整数とするとき、放物線

y = x^{2} - 2 m x + m^{2} = (x - m)^{2}

と $x$ 軸および $y$ 軸によって囲まれた図形を $D$ とする。

(1) $D$ の周上の格子点の数 $L_{m}$ を $m$ で表せ。

(2) $D$ の周上および内部の格子点の数 $T_{m}$ を $m$ で表せ。

(3) $D$ の面積を $S_{m}$ とする。極限

m \to \infty lim \frac{T _{m}}{S _{m}}

を求めよ。

出典：東北大学 2018年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

解法1

領域は文系後期第1問と同じく $0 ≦ x ≦ m$ 、 $0 ≦ y ≦ (m - x)^{2}$ と見て、周上と内部込みの格子点を縦に数える。(3)では面積 $S_{m}$ を $\int_{0}^{m} (m - x)^{2} d x$ で求める。 $T_{m}$ も3次式として展開しておくと、 $T_{m} / S_{m}$ の極限は最高次係数の比較で決まる。

解法2

縦列ごとに格子点を数える。(3)では $T_{m} / m^{3}$ をリーマン和として解釈し、面積 $S_{m}$ の主要項と比較する。

解答

解法1

(1)

放物線は $y = (x - m)^{2}$ である。 $x$ 軸、 $y$ 軸とともに囲まれる領域は $0 ≦ x ≦ m, 0 ≦ y ≦ (m - x)^{2}$ である。

周上の格子点を、 $x$ 軸、 $y$ 軸、放物線に分けて数える。 $x$ 軸上は $m + 1$ 個、 $y$ 軸上は $m^{2} + 1$ 個、放物線上は整数 $x = 0, 1, \dots, m$ に対して1個ずつあり $m + 1$ 個である。3つの頂点 $(0, 0), (0, m^{2}), (m, 0)$ を重複して数えているので3を引く。したがって $L_{m} = m^{2} + 2 m$ である。

(2)

整数 $x = 0, 1, \dots, m$ を固定すると、 $y$ は $0, 1, 2, \dots, (m - x)^{2}$ を取り、格子点は $(m - x)^{2} + 1$ 個ある。よって $T_{m} = \sum_{x = 0}^{m} {(m - x)^{2} + 1} = \sum_{j = 0}^{m} (j^{2} + 1)$ である。したがって $T_{m} = \frac{m ( m + 1 ) ( 2 m + 1 )}{6} + m + 1$ である。

(3)

面積は $S_{m} = \int_{0}^{m} (m - x)^{2} d x$ である。 $u = m - x$ と見れば $S_{m} = \int_{0}^{m} u^{2} d u = \frac{m ^{3}}{3}$ である。

一方、(2)の式を展開すると $T_{m} = \frac{m ^{3}}{3} + \frac{m ^{2}}{2} + \frac{7 m}{6} + 1$ である。よって

\frac{T _{m}}{S _{m}} = \frac{\frac{m ^{3}}{3} + \frac{m ^{2}}{2} + \frac{7 m}{6} + 1}{\frac{m ^{3}}{3}}

であり、 $m \to \infty$ で最高次項の比だけが残る。したがって $lim_{m \to \infty} \frac{T _{m}}{S _{m}} = 1$ である。

解法2

(1)

3つの境界上の格子点を包除原理で数えると

L_{m} = (m + 1) + (m^{2} + 1) + (m + 1) - 3 = m^{2} + 2 m .

(2)

$j = 0, 1, \dots, m$ に対し、縦線 $x = m - j$ 上の格子点は $j^{2} + 1$ 個である。したがって

T_{m} = j = 0 \sum m (j^{2} + 1) = \frac{m ( m + 1 ) ( 2 m + 1 )}{6} + m + 1.

(3)

面積は

S_{m} = \int_{0}^{m} (m - x)^{2} d x = \frac{m ^{3}}{3} .

一方、

\frac{T _{m}}{m ^{3}} = \frac{1}{m} j = 0 \sum m (\frac{j}{m})^{2} + \frac{m + 1}{m ^{3}} .

右辺第1項は $t^{2}$ のリーマン和、第2項は0に収束するので

m \to \infty lim \frac{T _{m}}{m ^{3}} = \int_{0}^{1} t^{2} d t = \frac{1}{3} .

また $S_{m} / m^{3} = 1/3$ だから

m \to \infty lim \frac{T _{m}}{S _{m}} = 1.

東北大学 2018年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

東北大学 2018年度
後期・理系数学後期第1問