東北大学 2021年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $A(x,y,z)$ は原点中心，半径1の球面上にあるので $x^2+y^2+z^2=1$ である。したがって $$\overrightarrow{OA}=(x,y,z)$$ は単位ベクトルである。また $$\overrightarrow{OB}=(1,1,1)$$ である。

点 $B$ の直線 $OA$ への符号つき射影の長さを $s$ とすると $$s=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA}=x+y+z$$ である。よって $OP=\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }$ である。一方，$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}{\mathrm{\mid }}^2=3$$ なので，直角三角形 $OBP$ において $$B{P}^2=O{B}^2-O{P}^2=3-(x+y+z{)}^2$$ である。

三角形 $OBP$ を $OP$ を軸として一回転させると，高さ $\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }$，底面半径 $BP$ の円錐ができる。したがって $$V=\frac{\pi }{3}B{P}^2\cdot OP=\frac{\pi }{3}\{3-(x+y+z{)}^2\}\mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }$$ である。

(2) $u=\mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }$ とおく。$(x,y,z)$ は単位ベクトルであるから，内積の大きさの評価より $0\leqq u\leqq \sqrt{3}$ である。体積は $$V=\frac{\pi }{3}(3-u^2)u$$ である。

関数 $F(u)=(3-u^2)u=3u-u^3$ を $0\leqq u\leqq \sqrt{3}$ で考えると $$F^{\mathrm{\prime }}(u)=3-3u^2=3(1-u)(1+u)$$ である。したがって $F(u)$ は $0<u<1$ で増加し，$1<u<\sqrt{3}$ で減少する。よって最大は $u=1$ のときで，$F(1)=2$ である。したがって $$V_{\max }=\frac{2\pi }{3}$$ である。

そのときの条件は $\mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }=1$ である。すなわち，もとの球面条件 $x^2+y^2+z^2=1$ のもとで $(x+y+z{)}^2=1$ を満たす点で最大となる。

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角を $\varphi$ と置く。円錐の高さと底面半径を三角比で表し、$\mathrm{\mid }\cos \varphi \mathrm{\mid }$ の1変数にして最大化する。

(1) $OA=1,OB=\sqrt{3}$ であり、$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角を $\varphi$ とする。直角三角形 $OBP$ から$$OP=\sqrt{3}\mathrm{\mid }\cos \varphi \mathrm{\mid },B{P}^2=3{\sin }^2\varphi$$である。また $\cos \varphi =(x+y+z)\mathrm{/}\sqrt{3}$ だから$$V=\frac{\pi }{3}B{P}^2\cdot OP=\frac{\pi }{3}\{3-(x+y+z{)}^2\}\mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$(2) $$w=\mathrm{\mid }\cos \varphi \mathrm{\mid }(0\leqq w\leqq 1)$$ とおくと$$V=\pi \sqrt{3}(1-w^2)w\mathrm{.}$$微分すると$$\frac{dV}{dw}=\pi \sqrt{3}(1-3w^2)$$なので、最大は $w=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ のときである。よって$$V_{\max }=\frac{2\pi }{3}\mathrm{.}$$また $\mathrm{\mid }x+y+z\mathrm{\mid }=\sqrt{3}w=1$ だから、最大となる条件は$$x^2+y^2+z^2=1,(x+y+z{)}^2=1$$である。