東北大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

まず必要な内積を計算しておく。 $$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=1\cdot 1+2\cdot 1+1\cdot (-1)=2,$$ $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2=1^2+2^2+1^2=6,\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2=1^2+1^2+(-1{)}^2=3,$$$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=1,\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b}=-1$$である。

(1) $$A_n=s_n\overrightarrow{a}$$、$$B_n=t_n\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$$ である。$A_n{B}_n$ は直線 $l^{\mathrm{\prime }}$ に垂直なので、$l^{\mathrm{\prime }}$ の方向ベクトル $\overrightarrow{b}$ と垂直である。したがって$$(s_n\overrightarrow{a}-t_n\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{b}=0$$である。内積を代入すると $2s_n-3t_n+1=0$ なので $$t_n=\frac{2s_n+1}{3}$$ である。

次に、$B_n{A}_{n+1}$ は直線 $l$ に垂直なので、$l$ の方向ベクトル $\overrightarrow{a}$ と垂直である。したがって$$(t_n\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-s_{n+1}\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{a}=0$$である。内積を代入すると $2t_n+1-6s_{n+1}=0$ だから $$s_{n+1}=\frac{2t_n+1}{6}$$ である。先ほどの $t_n$ を代入して $$s_{n+1}=\frac{2\cdot \frac{2s_n+1}{3}+1}{6}=\frac{4s_n+5}{18}$$ を得る。

(2)
(1) より $$s_{n+1}=\frac{2}{9}{s}_n+\frac{5}{18}$$ である。係数 $\frac{2}{9}$ の絶対値は $1$ より小さいので、$s_n$ は収束する。極限を $S$ とすると $$S=\frac{4S+5}{18}$$ である。したがって $18S=4S+5$ より $S=\frac{5}{14}$ である。

また $$t_n=\frac{2s_n+1}{3}$$ なので、$t_n$ の極限 $T$ は $$T=\frac{2S+1}{3}=\frac{2\cdot \frac{5}{14}+1}{3}=\frac{4}{7}$$ である。

(3) $$\overrightarrow{AB}=T\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-S\overrightarrow{a}$$である。直線 $AB$ が $l$ と直交することを示すには、$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{a}=0$$ を示せばよい。実際、$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{a}=T(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})+\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}-S\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2=2T+1-6S$$である。$S=\frac{5}{14}$、$T=\frac{4}{7}$ を代入すると $$2T+1-6S=\frac{8}{7}+1-\frac{30}{14}=\frac{8}{7}+1-\frac{15}{7}=0$$ である。

同様に、直線 $AB$ が $l^{\mathrm{\prime }}$ と直交することを示すには、$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{b}=0$$ を示せばよい。$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{b}=T\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2+\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{b}-S(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})=3T-1-2S$$であり、$$3T-1-2S=\frac{12}{7}-1-\frac{10}{14}=\frac{12}{7}-1-\frac{5}{7}=0$$ である。したがって直線 $AB$ は2直線 $l,l^{\mathrm{\prime }}$ の両方と直交する。

垂線の足を直交射影の公式として求める。(1) の漸化式を不動点との差へ直し、$s_n,t_n$ の一般項まで求めて収束を確認する。(3) は極限で残る2本の射影条件をそのまま内積0の式として用いる。

必要な内積は$$\mathit{a}\cdot \mathit{b}=2,\mathrm{\mid }\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2=6,\mathrm{\mid }\mathit{b}{\mathrm{\mid }}^2=3,\mathit{c}\cdot \mathit{a}=1,\mathit{c}\cdot \mathit{b}=-1$$である。

(1)
点 $s_n\mathit{a}$ を直線 $t\mathit{b}+\mathit{c}$ へ正射影するとき、その係数は$$t_n=\frac{\mathit{b}\cdot (s_n\mathit{a}-\mathit{c})}{\mathrm{\mid }\mathit{b}{\mathrm{\mid }}^2}=\frac{2s_n+1}{3}\mathrm{.}$$次に $t_n\mathit{b}+\mathit{c}$ を直線 $s\mathit{a}$ へ正射影すると$$s_{n+1}=\frac{\mathit{a}\cdot (t_n\mathit{b}+\mathit{c})}{\mathrm{\mid }\mathit{a}{\mathrm{\mid }}^2}=\frac{2t_n+1}{6}=\frac{4s_n+5}{18}\mathrm{.}$$(2)
不動点は $5\mathrm{/}14$ だから$$s_{n+1}-\frac{5}{14}=\frac{2}{9}(s_n-\frac{5}{14})\mathrm{.}$$$s_1=0$ より$$s_n=\frac{5}{14}\{1-{\left(\frac{2}{9}\right)}^{n-1}\}\mathrm{.}$$さらに$$t_n=\frac{2s_n+1}{3}=\frac{4}{7}-\frac{5}{21}{\left(\frac{2}{9}\right)}^{n-1}\mathrm{.}$$したがって$$S=\frac{5}{14},T=\frac{4}{7}\mathrm{.}$$(3)
各段階の正射影条件は$$(t_n\mathit{b}+\mathit{c}-s_n\mathit{a})\cdot \mathit{b}=0,(t_n\mathit{b}+\mathit{c}-s_{n+1}\mathit{a})\cdot \mathit{a}=0.$$一般項から両数列は収束するので、$n\to \mathrm{\infty }$ とすれば$$(T\mathit{b}+\mathit{c}-S\mathit{a})\cdot \mathit{b}=0,(T\mathit{b}+\mathit{c}-S\mathit{a})\cdot \mathit{a}=0.$$左のベクトルは $\overrightarrow{AB}$ であるから、直線 $AB$ は $l,l^{\mathrm{\prime }}$ の両方に直交する。