Evolton
方針
から を得る。さらに は なので， も決まる。 は の平面 への正射影なので， とおき， が の両方に垂直という連立方程式を解く。(3) は の形を作り，平面 上にあり，かつ平面に垂直であることを確認して を示す。
解答
(1) ，， より である。
また，線分 と線分 が垂直であるから，方向ベクトル と は垂直である。したがって である。 なので となり， である。
(2) は から平面 に下ろした垂線の足であるから， は平面 上にある。よって とおける。
また なので， は ， の両方に垂直である。したがってである。内積の値を代入すると すなわち である。これを解くと である。よって である。
(3) とおく。まずこの点が平面 上にあることを確認する。(2)よりであり，係数の和は である。したがって点 は平面 上にある。
次に が平面 に垂直であることを示す。平面 の方向ベクトルとして ， を用いればよい。
まず， は の平面 への正射影なのでである。よって である。
またであり，，， だからである。
したがって は平面 に垂直であり，この点は問題で定めた垂線の足 である。するとである。よって と は平行である。
別解
別解（具体的な直交座標を設定する）
方針
平面 を 平面に置いて の成分を決める。候補点 が平面 上にあり， がその平面に垂直であることを成分で確認する。
解答
(1) また より だから(2)
平面 を 平面としてと置く。 とおくと，(1)の内積からよって から である。向きを取り直してとしてよい。
は の 平面への正射影だからこれを で表すと(3)で定まる点を考える。(2)より係数の和が1なので，この点は平面 上にある。 と略記すると直接内積を計算するとよって であり，この点が問題の である。したがってゆえに と は平行である。
総評
空間ベクトルの射影と垂線を扱う理系標準上位の問題。目安時間は25分。 を と翻訳できるかが最初の鍵である。 は正射影なので， が平面 の2方向に垂直という連立方程式で求まる。(3) は候補 を作り，平面上にあることと垂直であることを別々に確認するのが見通しのよい書き方である。 内積の連立と具体的な直交座標の2通りで，が一致した。