東北大学 2022年度理系数学第3問解答・解説

問題

正の整数 $n$ に対して，

S_{n} = k = 1 \sum n (1 + \frac{k}{n ^{2}} - 1)

とする。

(1) 正の実数 $x$ に対して，次の不等式が成り立つことを示せ。

\frac{x}{2 + x} ≦ 1 + x - 1 ≦ \frac{x}{2}

(2) 極限値 $n \to \infty lim S_{n}$ を求めよ。

出典：東北大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

解法1

(1) は $1 + x - 1$ を有理化し、分母 $1 + x + 1$ を上下から評価する。(2) は $x = \frac{k}{n ^{2}}$ を代入して各項をはさみ、 $1 ≦ k ≦ n$ から下限の分母を $2 n^{2} + n$ でそろえる。上下の和がどちらも $\frac{1}{4}$ に近づくことを確認して、はさみうちを使う。

解法2

各項を一次近似 $k / (2 n^{2})$ と比較し、その誤差を二次の量で一括評価する。(1)の上側評価から、平方根の差と一次項との差が $x^{2} /8$ 以下であることを示し、誤差の総和が0へ収束することから極限を得る。

解答

解法1

(1)

$x > 0$ とする。有理化すると $1 + x - 1 = \frac{x}{1 + x + 1}$ である。

まず $1 + x + 1 ≧ 2$ だから $\frac{x}{1 + x + 1} ≦ \frac{x}{2}$ である。よって $1 + x - 1 ≦ \frac{x}{2}$ が成り立つ。

また、 $x > 0$ では $1 + x ≧ 1 + x$ である。したがって $1 + x + 1 ≦ x + 2$ となる。分子 $x$ は正なので、分母が大きいほど分数は小さくなる。よって $\frac{x}{1 + x + 1} ≧ \frac{x}{x + 2}$ である。したがって $\frac{x}{2 + x} ≦ 1 + x - 1 ≦ \frac{x}{2}$ が示された。

(2)

(1) に $x = \frac{k}{n ^{2}}$ を代入すると

\frac{\frac{k}{n ^{2}}}{2 + \frac{k}{n ^{2}}} ≦ 1 + \frac{k}{n ^{2}} - 1 ≦ \frac{k}{2 n ^{2}}

である。左辺を整理して $\frac{k}{2 n ^{2} + k} ≦ 1 + \frac{k}{n ^{2}} - 1 ≦ \frac{k}{2 n ^{2}}$ を得る。 $1 ≦ k ≦ n$ より $2 n^{2} + k ≦ 2 n^{2} + n$ であるから $\frac{k}{2 n ^{2} + k} ≧ \frac{k}{2 n ^{2} + n}$ である。したがって $\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{2 n ^{2} + n} ≦ S_{n} ≦ \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{2 n ^{2}}$ となる。

各和を計算すると

\frac{1}{2 n ^{2} + n} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} ≦ S_{n} ≦ \frac{1}{2 n ^{2}} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2}

すなわち $\frac{n ( n + 1 )}{2 ( 2 n ^{2} + n )} ≦ S_{n} ≦ \frac{n ( n + 1 )}{4 n ^{2}}$ である。左右の端はどちらも $\frac{1}{4}$ に収束する。よって、はさみうちの原理より $lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{1}{4}$ である。

解法2

(1)

$u = 1 + x - 1 > 0$ とおくと $x = u (u + 2)$ である。すると

\frac{x}{2} - u = \frac{u ( u + 2 )}{2} - u = \frac{u ^{2}}{2} ≧ 0

だから $u ≦ x /2$ である。また

u = \frac{x}{1 + x + 1}

であり、 $1 + x ≦ 1 + x$ より分母は $2 + x$ 以下だから

u ≧ \frac{x}{2 + x} .

したがって所要の不等式が成り立つ。

(2)

上の計算はさらに

0 ≦ \frac{x}{2} - (1 + x - 1) = \frac{( 1 + x - 1 ) ^{2}}{2} ≦ \frac{x ^{2}}{8}

を与える。ここで $x = k / n^{2}$ として $k = 1, \dots, n$ について足すと

0 ≦ k = 1 \sum n \frac{k}{2 n ^{2}} - S_{n} ≦ \frac{1}{8 n ^{4}} k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{48 n ^{4}} .

右端は0へ収束する。一方

k = 1 \sum n \frac{k}{2 n ^{2}} = \frac{n ( n + 1 )}{4 n ^{2}} ⟶ \frac{1}{4} .

よって誤差評価から

n \to \infty lim S_{n} = \frac{1}{4}

である。

東北大学 2022年度理系数学 第3問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

東北大学 2022年度
理系数学第3問