東北大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $x>0$ とする。有理化すると $$\sqrt{1+x}-1=\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}$$ である。

まず $\sqrt{1+x}+1\geqq 2$ だから $$\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}\leqq \frac{x}{2}$$ である。よって $$\sqrt{1+x}-1\leqq \frac{x}{2}$$ が成り立つ。

また、$x>0$ では $$1+x\geqq \sqrt{1+x}$$ である。したがって $$\sqrt{1+x}+1\leqq x+2$$ となる。分子 $x$ は正なので、分母が大きいほど分数は小さくなる。よって $$\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}\geqq \frac{x}{x+2}$$ である。したがって $$\frac{x}{2+x}\leqq \sqrt{1+x}-1\leqq \frac{x}{2}$$ が示された。

(2)
(1) に $$x=\frac{k}{n^2}$$ を代入すると$$\frac{\frac{k}{n^2}}{2+\frac{k}{n^2}}\leqq \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1\leqq \frac{k}{2n^2}$$である。左辺を整理して $$\frac{k}{2n^2+k}\leqq \sqrt{1+\frac{k}{n^2}}-1\leqq \frac{k}{2n^2}$$ を得る。 $1\leqq k\leqq n$ より $2n^2+k\leqq 2n^2+n$ であるから $$\frac{k}{2n^2+k}\geqq \frac{k}{2n^2+n}$$ である。したがって $$\sum _{k=1}^n\frac{k}{2n^2+n}\leqq S_n\leqq \sum _{k=1}^n\frac{k}{2n^2}$$ となる。

各和を計算すると$$\frac{1}{2n^2+n}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\leqq S_n\leqq \frac{1}{2n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}$$すなわち $$\frac{n(n+1)}{2(2n^2+n)}\leqq S_n\leqq \frac{n(n+1)}{4n^2}$$ である。左右の端はどちらも $\frac{1}{4}$ に収束する。よって、はさみうちの原理より $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\frac{1}{4}$$ である。

各項を一次近似 $k\mathrm{/}(2n^2)$ と比較し、その誤差を二次の量で一括評価する。(1)の上側評価から、平方根の差と一次項との差が $x^2\mathrm{/}8$ 以下であることを示し、誤差の総和が0へ収束することから極限を得る。

(1) $$u=\sqrt{1+x}-1>0$$ とおくと $x=u(u+2)$ である。すると$$\frac{x}{2}-u=\frac{u(u+2)}{2}-u=\frac{u^2}{2}\geqq 0$$だから $u\leqq x\mathrm{/}2$ である。また$$u=\frac{x}{\sqrt{1+x}+1}$$であり、$\sqrt{1+x}\leqq 1+x$ より分母は $2+x$ 以下だから$$u\geqq \frac{x}{2+x}\mathrm{.}$$したがって所要の不等式が成り立つ。

(2)
上の計算はさらに$$0\leqq \frac{x}{2}-(\sqrt{1+x}-1)=\frac{(\sqrt{1+x}-1{)}^2}{2}\leqq \frac{x^2}{8}$$を与える。ここで $x=k\mathrm{/}{n}^2$ として $k=1,\dots ,n$ について足すと$$0\leqq \sum _{k=1}^n\frac{k}{2n^2}-S_n\leqq \frac{1}{8n^4}\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{48n^4}\mathrm{.}$$右端は0へ収束する。一方$$\sum _{k=1}^n\frac{k}{2n^2}=\frac{n(n+1)}{4n^2}⟶\frac{1}{4}\mathrm{.}$$よって誤差評価から$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\frac{1}{4}$$である。