東北大学 2022年度
理系数学 第4問

解答

解法1

(1)

直線 $l:y=mx$ と $x$ 軸のなす角を $\varphi$ とおく。$m>0$ なので $m=\tan \varphi$ である。円 $C$ は直線 $l$ と $x$ 軸の両方に接しているので、その中心は2直線のなす角の二等分線上にある。したがって、中心を通る直線 $y=tx$ は $t=\tan \frac{\varphi }{2}$ を満たす。

半角公式より $\tan \frac{\varphi }{2}=\frac{\sin \varphi }{1+\cos \varphi }$ である。$\tan \varphi =m$ から $\sin \varphi =\frac{m}{\sqrt{1+m^2}},\cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}$ だから $t=\frac{m}{1+\sqrt{1+m^2}}$ である。

(2)

半径 $a$ の円の中心は、$x$ 軸からの距離が $a$ であり、直線 $y=tx$ 上にある。よってその中心は $\left(\frac{a}{t},a\right)$ である。同様に、半径 $b$ の円の中心は $\left(\frac{b}{t},b\right)$ である。

2つの円は互いに外接し、$b>a$ なので、中心間距離は $a+b$ である。したがって $\sqrt{{\left(\frac{b-a}{t}\right)}^2+(b-a{)}^2}=a+b$ となる。$t>0$ より $(b-a)\frac{\sqrt{1+t^2}}{t}=a+b$ である。 $\lambda =\frac{b}{a}$ とおくと $(\lambda -1)\frac{\sqrt{1+t^2}}{t}=\lambda +1$ である。これを解くと $\lambda =\frac{\sqrt{1+t^2}+t}{\sqrt{1+t^2}-t}$ となる。分子分母に $\sqrt{1+t^2}+t$ をかければ $\frac{b}{a}=(\sqrt{1+t^2}+t{)}^2$ である。

(3)

(1) より $t=\frac{m}{1+\sqrt{1+m^2}}$ なので ${\lim }_{m\to +0}\frac{t}{m}=\frac{1}{2}$ である。

また (2) より $\frac{b}{a}=(\sqrt{1+t^2}+t{)}^2=1+2t\sqrt{1+t^2}+2t^2$ である。したがって ${\lim }_{t\to +0}\frac{\frac{b}{a}-1}{t}=2$ となる。よって

である。

解法2

(1)

$x$ 軸と $l$ のなす角を $\varphi (0<\varphi <\pi /2)$ とする。接円の中心は内角の二等分線上にあるから

$m=\tan \varphi$ と半角公式より

(2)

角の頂点から半径 $r$ の接円中心までの距離は

である。2円は同じ二等分線上で外接し、$b>a$ だから

$s=\sin (\varphi /2)$ とおけば

また $t=\tan (\varphi /2)$ より $s=t/\sqrt{1+t^2}$ である。したがって

(3)

(1)より $t/m\to 1/2$ であり、(2)より

よって