東北大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
直線 $l:y=mx$ と $x$ 軸のなす角を $\varphi$ とおく。$m>0$ なので $m=\tan \varphi$ である。円 $C$ は直線 $l$ と $x$ 軸の両方に接しているので、その中心は2直線のなす角の二等分線上にある。したがって、中心を通る直線 $y=tx$ は $$t=\tan \frac{\varphi }{2}$$ を満たす。

半角公式より $$\tan \frac{\varphi }{2}=\frac{\sin \varphi }{1+\cos \varphi }$$ である。$\tan \varphi =m$ から $$\sin \varphi =\frac{m}{\sqrt{1+m^2}},\cos \varphi =\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}$$ だから $$t=\frac{m}{1+\sqrt{1+m^2}}$$ である。

(2)
半径 $a$ の円の中心は、$x$ 軸からの距離が $a$ であり、直線 $y=tx$ 上にある。よってその中心は $(\frac{a}{t},a)$ である。同様に、半径 $b$ の円の中心は $(\frac{b}{t},b)$ である。

2つの円は互いに外接し、$b>a$ なので、中心間距離は $a+b$ である。したがって $$\sqrt{{\left(\frac{b-a}{t}\right)}^2+(b-a{)}^2}=a+b$$ となる。$t>0$ より $$(b-a)\frac{\sqrt{1+t^2}}{t}=a+b$$ である。 $$\lambda =\frac{b}{a}$$ とおくと $$(\lambda -1)\frac{\sqrt{1+t^2}}{t}=\lambda +1$$ である。これを解くと $$\lambda =\frac{\sqrt{1+t^2}+t}{\sqrt{1+t^2}-t}$$ となる。分子分母に $\sqrt{1+t^2}+t$ をかければ $$\frac{b}{a}=(\sqrt{1+t^2}+t{)}^2$$ である。

(3)
(1) より $$t=\frac{m}{1+\sqrt{1+m^2}}$$ なので $$\underset{m\to +0}{\lim }\frac{t}{m}=\frac{1}{2}$$ である。

また (2) より $$\frac{b}{a}=(\sqrt{1+t^2}+t{)}^2=1+2t\sqrt{1+t^2}+2t^2$$ である。したがって $$\underset{t\to +0}{\lim }\frac{\frac{b}{a}-1}{t}=2$$ となる。よって$$\underset{m\to +0}{\lim }\frac{1}{m}(\frac{b}{a}-1)=\left(\underset{t\to +0}{\lim }\frac{\frac{b}{a}-1}{t}\right)\left(\underset{m\to +0}{\lim }\frac{t}{m}\right)=2\cdot \frac{1}{2}=1$$である。

角の二等分線と相似比を中心に処理する。半径 $r$ の接円中心までの距離を$r\mathrm{/}\sin (\varphi \mathrm{/}2)$ と表し、隣り合う2円の外接条件から半径比を直接求める。最後は $t=\tan (\varphi \mathrm{/}2)$ を用いて極限を2因子へ分ける。

(1)
$x$ 軸と $l$ のなす角を $\varphi (0<\varphi <\pi \mathrm{/}2)$ とする。接円の中心は内角の二等分線上にあるから$$t=\tan \frac{\varphi }{2}\mathrm{.}$$$m=\tan \varphi$ と半角公式より$$t=\frac{m}{1+\sqrt{1+m^2}}\mathrm{.}$$(2)
角の頂点から半径 $r$ の接円中心までの距離は$$d_r=\frac{r}{\sin (\varphi \mathrm{/}2)}$$である。2円は同じ二等分線上で外接し、$b>a$ だから$$d_b-d_a=a+b\mathrm{.}$$$s=\sin (\varphi \mathrm{/}2)$ とおけば$$\frac{b-a}{s}=a+b⟹\frac{b}{a}=\frac{1+s}{1-s}\mathrm{.}$$また $t=\tan (\varphi \mathrm{/}2)$ より $$s=t\mathrm{/}\sqrt{1+t^2}$$ である。したがって$$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{1+t^2}+t}{\sqrt{1+t^2}-t}=(\sqrt{1+t^2}+t{)}^2\mathrm{.}$$(3)$$\frac{\frac{b}{a}-1}{m}=\frac{\frac{b}{a}-1}{t}\cdot \frac{t}{m}\mathrm{.}$$(1)より $t\mathrm{/}m\to 1\mathrm{/}2$ であり、(2)より$$\frac{\frac{b}{a}-1}{t}=2\sqrt{1+t^2}+2t⟶2.$$よって$$\underset{m\to +0}{\lim }\frac{1}{m}(\frac{b}{a}-1)=1\mathrm{.}$$