東北大学 2022年度理系数学第6問解答・解説

問題

半径1の円を底面とする高さが $3$ の直円柱と，半径が $r$ の球を考える。直円柱の底面の円の中心と球の中心が一致するとき，直円柱の内部と球の内部の共通部分の体積 $V (r)$ を求めよ。

出典：東北大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

解法1

球の中心を原点、円柱を $x^{2} + y^{2} ≦ 1, 0 ≦ z ≦ 3$ と置く。高さ $z$ で切った断面は、半径1の円板と半径 $r^{2} - z^{2}$ の円板の共通部分であり、小さい方の面積を積分する。球の断面半径が1になる高さ $z = r^{2} - 1$ 、球の上端 $z = r$ 、円柱の上端 $z = 3$ の位置関係から、 $r = 1, 3, 2$ を境に場合分けする。

解法2

円柱軸からの距離 $ρ$ を固定した薄い円筒殻で積分する。共通部分の高さは $min {3, r^{2} - ρ^{2}}$ であり、積分範囲と高さの切替点を $r = 1, 3, 2$ ごとに決める。

解答

解法1

球の中心を原点、円柱の底面を $z = 0$ の平面上に置く。円柱は $x^{2} + y^{2} ≦ 1, 0 ≦ z ≦ 3$ であり、球は $x^{2} + y^{2} + z^{2} ≦ r^{2}$ である。

高さ $z$ で水平に切ると、円柱の断面は半径 $1$ の円板であり、球の断面は $0 ≦ z ≦ r$ で半径 $r^{2} - z^{2}$ の円板である。したがって共通部分の断面積は、これら2つの円板の小さい方の面積になる。

(i)

$0 < r ≦ 1$ のとき、球の上半分は常に半径 $1$ の円柱の内側に入る。したがって共通部分は半径 $r$ の球の上半球であり、 $V (r) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{2}{3} π r^{3}$ である。

(ii)

$1 < r ≦ 3$ のとき、球は円柱の上端 $z = 3$ まで届かないか、ちょうど届く。球の断面半径が $1$ になる高さは $r^{2} - z^{2} = 1$ より $z = r^{2} - 1$ である。したがって $0 ≦ z ≦ r^{2} - 1$ では円柱の断面全体が入り、 $r^{2} - 1 ≦ z ≦ r$ では球の断面が入る。よって $V (r) = π r^{2} - 1 + π \int_{r^{2} - 1}^{r} (r^{2} - z^{2}) d z$ である。計算すると $V (r) = \frac{2 π}{3} {r^{3} - (r^{2} - 1)^{3/2}}$ である。

(iii)

$3 < r < 2$ のとき、球は円柱の上端より高くまで伸びるが、円柱全体を含むほど大きくはない。したがって積分の上端は $r$ ではなく、円柱の上端 $3$ で止まる。 $0 ≦ z ≦ r^{2} - 1$ では円柱の断面全体、 $r^{2} - 1 ≦ z ≦ 3$ では球の断面が共通部分になるので $V (r) = π r^{2} - 1 + π \int_{r^{2} - 1}^{3} (r^{2} - z^{2}) d z$ である。これを整理して $V (r) = π {3 (r^{2} - 1) - \frac{2}{3} (r^{2} - 1)^{3/2}}$ を得る。

(iv)

$2 ≦ r$ のとき、円柱内の点で球の中心から最も遠いものは、上面の円周上にあり、その距離は $1^{2} + (3)^{2} = 2$ である。したがって $r ≧ 2$ なら円柱全体が球に含まれる。よって共通部分は円柱全体であり、 $V (r) = π \cdot 1^{2} \cdot 3 = π 3$ である。

以上より

V (r) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{3} π r^{3} \frac{2 π}{3} {r^{3} - (r^{2} - 1)^{3/2}} π {3 (r^{2} - 1) - \frac{2}{3} (r^{2} - 1)^{3/2}} π 3 (0 < r ≦ 1), (1 < r ≦ 3), (3 < r < 2), (2 ≦ r)

である。

解法2

球の中心を原点、円柱を

0 ≦ ρ ≦ 1, 0 ≦ z ≦ 3

と置く。半径 $ρ$ 、厚さ $d ρ$ の円筒殻の周は $2 π ρ$ であり、球内での上向きの高さは $r^{2} - ρ^{2}$ である。したがって共通部分の高さは

h (ρ) = min {3, r^{2} - ρ^{2}}

となる。

(i) $0 < r ≦ 1$

では $0 ≦ ρ ≦ r$ の球側の高さを積分して

V = 2 π \int_{0}^{r} ρ r^{2} - ρ^{2} d ρ = \frac{2 π}{3} r^{3} .

(ii) $1 < r ≦ 3$

では $0 ≦ ρ ≦ 1$ で球側が上端となるから

V = 2 π \int_{0}^{1} ρ r^{2} - ρ^{2} d ρ = \frac{2 π}{3} {r^{3} - (r^{2} - 1)^{3/2}} .

(iii) $3 < r < 2$

では $r^{2} - ρ^{2} = 3$ となる $ρ = r^{2} - 3$ で高さが切り替わる。よって

V = = 2 π \int_{0}^{r^{2} - 3} ρ 3 d ρ + 2 π \int_{r^{2} - 3}^{1} ρ r^{2} - ρ^{2} d ρ π {3 (r^{2} - 1) - \frac{2}{3} (r^{2} - 1)^{3/2}} .

(iv) $r ≧ 2$

では円柱上面の円周まで球内に入り、円柱全体が共通部分だから $V = π 3$ である。

以上より

V (r) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{3} π r^{3} \frac{2 π}{3} {r^{3} - (r^{2} - 1)^{3/2}} π {3 (r^{2} - 1) - \frac{2}{3} (r^{2} - 1)^{3/2}} π 3 (0 < r ≦ 1), (1 < r ≦ 3), (3 < r < 2), (r ≧ 2) .

東北大学 2022年度理系数学 第6問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

解法2

(i) 0<r≦1

(ii) 1<r≦3​

(iii) 3​<r<2

(iv) r≧2

東北大学 2022年度
理系数学第6問

(i) $0 < r ≦ 1$

(ii) $1 < r ≦ 3$

(iii) $3 < r < 2$

(iv) $r ≧ 2$