東北大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

球の中心を原点、円柱の底面を $z=0$ の平面上に置く。円柱は $$x^2+y^2\leqq 1,0\leqq z\leqq \sqrt{3}$$ であり、球は $x^2+y^2+z^2\leqq r^2$ である。

高さ $z$ で水平に切ると、円柱の断面は半径 $1$ の円板であり、球の断面は $0\leqq z\leqq r$ で半径 $\sqrt{r^2-z^2}$ の円板である。したがって共通部分の断面積は、これら2つの円板の小さい方の面積になる。

(i) $0<r\leqq 1$ のとき、球の上半分は常に半径 $1$ の円柱の内側に入る。したがって共通部分は半径 $r$ の球の上半球であり、$$V(r)=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3$$ である。

(ii) $1<r\leqq \sqrt{3}$ のとき、球は円柱の上端 $z=\sqrt{3}$ まで届かないか、ちょうど届く。球の断面半径が $1$ になる高さは $$\sqrt{r^2-z^2}=1$$ より $$z=\sqrt{r^2-1}$$ である。したがって $$0\leqq z\leqq \sqrt{r^2-1}$$ では円柱の断面全体が入り、$$\sqrt{r^2-1}\leqq z\leqq r$$ では球の断面が入る。よって $$V(r)=\pi \sqrt{r^2-1}+\pi {\int }_{\sqrt{r^2-1}}^r(r^2-z^2)dz$$ である。計算すると $$V(r)=\frac{2\pi }{3}\{r^3-(r^2-1{)}^{3\mathrm{/}2}\}$$ である。

(iii) $\sqrt{3}<r<2$ のとき、球は円柱の上端より高くまで伸びるが、円柱全体を含むほど大きくはない。したがって積分の上端は $r$ ではなく、円柱の上端 $\sqrt{3}$ で止まる。$$0\leqq z\leqq \sqrt{r^2-1}$$ では円柱の断面全体、$$\sqrt{r^2-1}\leqq z\leqq \sqrt{3}$$ では球の断面が共通部分になるので $$V(r)=\pi \sqrt{r^2-1}+\pi {\int }_{\sqrt{r^2-1}}^{\sqrt{3}}(r^2-z^2)dz$$ である。これを整理して $$V(r)=\pi \{\sqrt{3}(r^2-1)-\frac{2}{3}(r^2-1{)}^{3\mathrm{/}2}\}$$ を得る。

(iv) $2\leqq r$ のとき、円柱内の点で球の中心から最も遠いものは、上面の円周上にあり、その距離は $$\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$$ である。したがって $r\geqq 2$ なら円柱全体が球に含まれる。よって共通部分は円柱全体であり、$$V(r)=\pi \cdot 1^2\cdot \sqrt{3}=\pi \sqrt{3}$$ である。

以上より$$V(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{3}\pi r^3& (0<r\leqq 1),\\ \frac{2\pi }{3}\{r^3-(r^2-1{)}^{3\mathrm{/}2}\}& (1<r\leqq \sqrt{3}),\\ \pi \{\sqrt{3}(r^2-1)-\frac{2}{3}(r^2-1{)}^{3\mathrm{/}2}\}& (\sqrt{3}<r<2),\\ \pi \sqrt{3}& (2\leqq r)\end{array}$$である。

円柱軸からの距離 $\rho$ を固定した薄い円筒殻で積分する。共通部分の高さは $\min \{\sqrt{3},\sqrt{r^2-{\rho }^2}\}$ であり、積分範囲と高さの切替点を $r=1,\sqrt{3},2$ ごとに決める。

球の中心を原点、円柱を$$0\leqq \rho \leqq 1,0\leqq z\leqq \sqrt{3}$$と置く。半径 $\rho$、厚さ $d\rho$ の円筒殻の周は $2\pi \rho$ であり、球内での上向きの高さは $\sqrt{r^2-{\rho }^2}$ である。したがって共通部分の高さは$$h(\rho )=\min \{\sqrt{3},\sqrt{r^2-{\rho }^2}\}$$となる。

(i) $0<r\leqq 1$
では $0\leqq \rho \leqq r$ の球側の高さを積分して$$V=2\pi {\int }_0^r\rho \sqrt{r^2-{\rho }^2}d\rho =\frac{2\pi }{3}{r}^3\mathrm{.}$$(ii) $1<r\leqq \sqrt{3}$
では $0\leqq \rho \leqq 1$ で球側が上端となるから$$V=2\pi {\int }_0^1\rho \sqrt{r^2-{\rho }^2}d\rho =\frac{2\pi }{3}\{r^3-(r^2-1{)}^{3\mathrm{/}2}\}\mathrm{.}$$(iii) $\sqrt{3}<r<2$
では $$\sqrt{r^2-{\rho }^2}=\sqrt{3}$$ となる$$\rho =\sqrt{r^2-3}$$ で高さが切り替わる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V=}& {\displaystyle 2\pi {\int }_0^{\sqrt{r^2-3}}\rho \sqrt{3}d\rho +2\pi {\int }_{\sqrt{r^2-3}}^1\rho \sqrt{r^2-{\rho }^2}d\rho }\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle \pi \{\sqrt{3}(r^2-1)-\frac{2}{3}(r^2-1{)}^{3\mathrm{/}2}\}\mathrm{.}}\end{array}$$(iv) $r\geqq 2$
では円柱上面の円周まで球内に入り、円柱全体が共通部分だから $V=\pi \sqrt{3}$ である。

以上より$$V(r)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi r^3& (0<r\leqq 1),\\ {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\{r^3-(r^2-1{)}^{3\mathrm{/}2}\}& (1<r\leqq \sqrt{3}),\\ \pi \{\sqrt{3}(r^2-1)-{\displaystyle \frac{2}{3}}(r^2-1{)}^{3\mathrm{/}2}\}& (\sqrt{3}<r<2),\\ \pi \sqrt{3}& (r\geqq 2)\mathrm{.}\end{array}$$