東北大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$g(x)=a{x}^2+bx+1$ とおく。求める条件は，方程式 $g(x)=0$ が $x>0$ の解をもたないことである。

まず $a<0$ のとき，$g(0)=1$ である一方，$x\to \mathrm{\infty }$ とすると $g(x)\to -\mathrm{\infty }$ である。したがって連続性より $x>0$ に解をもつので，この場合は不適である。

次に $a=0$ のとき，$g(x)=bx+1$ である。$b<0$ なら $x=-{\displaystyle \frac{1}{b}}>0$ で解をもつ。$b\geqq 0$ なら $x>0$ で $bx+1>0$ であるから解をもたない。よって $a=0,b\geqq 0$ は条件を満たす。

最後に $a>0$ の場合を考える。$b\geqq 0$ なら，$x>0$ において $g(x)=a{x}^2+bx+1>0$ であるから，解をもたない。 $b<0$ のとき，頂点の $x$ 座標は $$-\frac{b}{2a}>0$$ であり，正の範囲に入る。したがって $x>0$ で解をもたないための条件は，頂点での最小値が正であること，すなわち $$1-\frac{b^2}{4a}>0$$ である。これは $b^2<4a$ と同値である。

以上より，求める領域は $a=0,b\geqq 0$ および $a>0,b\geqq 0$ および $$a>0,b<0,b^2<4a$$ を合わせた領域である。すなわち，$(a,b)$ 平面では，$a$ 軸の右側で $b\geqq 0$ の部分を境界 $a=0$ 上の $b\geqq 0$ も含めて取り，さらに $b<0$ では放物線 $$a={\displaystyle \frac{b^2}{4}}$$ の右側だけを取る。ただし $b<0$ 側の放物線上は重解をもち共有点が生じるので含まない。

方程式 $a{x}^2+bx+1=0$ の正の根の有無を、係数 $a$ の符号と根と係数の関係で調べる。$a>0$ では実根がある場合の2根は同符号なので、その和で正負を判定する。

$a<0$ のとき、2根の積は $1\mathrm{/}a<0$ である。したがって実数解は異符号であり、必ず正の解をもつので除外される。

$a=0$ のときは $bx+1=0$ である。正の解をもたない条件は $b\geqq 0$ である。

$a>0$ とする。判別式 $D=b^2-4a$ が負なら実数解をもたないので条件を満たす。$D\geqq 0$ なら、2根の積は $1\mathrm{/}a>0$ だから2根は同符号である。その和は $-b\mathrm{/}a$ なので、正の根をもたないための必要十分条件は $-b\mathrm{/}a<0$、すなわち $b>0$ である。$b=0$ では $D=-4a<0$ なので、これも含まれる。

以上より、$a>0$ では$$b\geqq 0\text{または}b<0\text{ かつ }{b}^2<4a$$であり、$a=0,b\geqq 0$ を合わせれば解法1と同じ領域を得る。