東北大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

曲線 $y=x(x-2{)}^2$ と放物線 $y=k{x}^2$ の交点を求める。交点の $x$ 座標は $x(x-2{)}^2=k{x}^2$ を満たす。整理すると $x\{(x-2{)}^2-kx\}=0$ すなわち $x\{x^2-(4+k)x+4\}=0$ である。したがって $x=0$ は交点である。 $k>0$ なので，2次方程式 $x^2-(4+k)x+4=0$ は正の2解をもつ。これらを $0<\alpha <\beta$ とおくと，解と係数の関係より $$\alpha +\beta =4+k,\alpha \beta =4$$ である。また $\alpha \beta =4$ かつ $\alpha +\beta >4$ なので $0<\alpha <2<\beta$ である。

上下差を考えると $$x(x-2{)}^2-k{x}^2=x(x-\alpha )(x-\beta )$$ である。$0<x<\alpha$ ではこれは正，$\alpha <x<\beta$ では負である。したがって，2つの部分の面積が等しいことは，正負をつけた面積の和が0であること，すなわち $${\int }_0^{\beta }x(x-\alpha )(x-\beta )dx=0$$ と同値である。 $\alpha \beta =4$ より $\alpha =\frac{4}{\beta }$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\beta }x(x-\alpha )(x-\beta )dx}& {\displaystyle ={\int }_0^{\beta }\{x^3-(\alpha +\beta )x^2+\alpha \beta x\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\beta }\{x^3-(\beta +\frac{4}{\beta })x^2+4x\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\beta }^4}{4}-\frac{(\beta +\frac{4}{\beta }){\beta }^3}{3}+2{\beta }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\beta }^4}{4}-\frac{{\beta }^4+4{\beta }^2}{3}+2{\beta }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{{\beta }^2(8-{\beta }^2)}{12}}\end{array}$$である。これが0で，$\beta >0$ だから ${\beta }^2=8$ すなわち $\beta =2\sqrt{2}$ である。したがって $$\alpha =\frac{4}{\beta }=\sqrt{2}$$ である。

このときの2曲線と3交点の位置関係は次の図のようになる。

最後に $\alpha +\beta =4+k$ より $$k=\alpha +\beta -4=\sqrt{2}+2\sqrt{2}-4=3\sqrt{2}-4$$ である。これは正の実数である。よって求める値は $k=3\sqrt{2}-4$ である。