東北大 2024年度理系数学第1問｜問題・解答・解説

方針

頂点と接線を先に確定し，囲まれる図形をどの直線・曲線で分けるかを明確にする。頂点は平方完成で求め， $P$ は直線 $O A$ と放物線の交点， $Q$ は原点を通る接線条件 $f (q) = q f^{'} (q)$ で決める。面積は $0 ≦ x ≦ q$ では線分 $O P$ と線分 $O Q$ の間， $q ≦ x ≦ p$ では線分 $O P$ と放物線の間に分かれるので，この2つの積分を丁寧に計算する。最後は $S = \frac{2}{3}$ に代入し， $a > 0$ から正の解だけを採用する。

解答

(1)
平方完成すると $f (x) = x^{2} - 2 a x + 4 a^{2} = (x - a)^{2} + 3 a^{2}$ であるから，放物線 $C$ の頂点は $A (a, 3 a^{2})$ である。よって， $O (0, 0)$ と $A (a, 3 a^{2})$ を通る直線 $O A$ の方程式は $y = 3 a x$ である。

$P$ はこの直線と $C$ の交点のうち $A$ でない点であるから， $x^{2} - 2 a x + 4 a^{2} = 3 a x$ を解く。整理して $x^{2} - 5 a x + 4 a^{2} = 0, (x - a) (x - 4 a) = 0$ となる。 $x = a$ は頂点 $A$ に対応するので， $p = 4 a$ である。

次に， $x = q$ における接線が原点を通る条件を立てる。接線の傾きは $f^{'} (q) = 2 q - 2 a$ であり，接線の方程式は $y - f (q) = f^{'} (q) (x - q)$ である。これが原点を通るので， $x = 0, y = 0$ を代入して $- f (q) = - q f^{'} (q), f (q) = q f^{'} (q)$ を得る。したがって $q^{2} - 2 a q + 4 a^{2} = q (2 q - 2 a)$ であり，右辺を移項すると $q^{2} = 4 a^{2}$ である。 $a > 0, q > 0$ より $q = 2 a$ となる。以上より $p = 4 a > 2 a = q$ である。

(2)
線分 $O P$ は $O$ と $P (4 a, f (4 a))$ を結ぶ。実際に $f (4 a) = 12 a^{2}$ であるから，その方程式は $y = 3 a x$ である。また，線分 $O Q$ は原点と $Q (2 a, f (2 a))$ を結ぶ。 $f (2 a) = 4 a^{2}$ なので，その方程式は $y = 2 a x$ である。

囲まれた図形は， $0 ≦ x ≦ 2 a$ では2本の直線 $O P, O Q$ の間， $2 a ≦ x ≦ 4 a$ では直線 $O P$ と放物線 $C$ の間である。よって $S = \int_{0}^{2 a} (3 a x - 2 a x) d x + \int_{2 a}^{4 a} {3 a x - (x^{2} - 2 a x + 4 a^{2})} d x$ である。すなわち $S = \int_{0}^{2 a} a x d x + \int_{2 a}^{4 a} (- x^{2} + 5 a x - 4 a^{2}) d x$ となる。

第1項は $\int_{0}^{2 a} a x d x = a {[\frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{2 a} = 2 a^{3}$ である。第2項は $\begin{aligned} \int_{2 a}^{4 a} (- x^{2} + 5 a x - 4 a^{2}) d x & = {[- \frac{x^{3}}{3} + \frac{5 a}{2} x^{2} - 4 a^{2} x]}_{2 a}^{4 a} \\ = (- \frac{64}{3} + 40 - 16) a^{3} - (- \frac{8}{3} + 10 - 8) a^{3} \\ = \frac{8}{3} a^{3} - (- \frac{2}{3} a^{3}) \\ = \frac{10}{3} a^{3} \end{aligned}$ である。したがって $S = 2 a^{3} + \frac{10}{3} a^{3} = \frac{16}{3} a^{3}$ である。

(3)
$S = \frac{2}{3}$ を(2)の式に代入すると $\frac{16}{3} a^{3} = \frac{2}{3}$ である。両辺に $3$ をかけて $16 a^{3} = 2, a^{3} = \frac{1}{8}$ を得る。 $a > 0$ であるから $a = \frac{1}{2}$ である。

【図形の位置関係（ $a = 1$ に正規化）】

青色部分が求める領域であり、 $x = q$ を境に下側の境界が直線 $O Q$ から放物線 $C$ へ切り替わる。

別解

別解（相似変換で面積の次数を先に決める）

方針

座標を $x = a X, y = a^{2} Y$ と正規化する。すると放物線・2直線の形は $a$ に依存せず、面積だけが横 $a$ 倍・縦 $a^{2}$ 倍、すなわち $a^{3}$ 倍になる。 $a = 1$ の基準図形の面積を1回だけ計算する。

解答

(1) 頂点は $A (a, 3 a^{2})$ なので $O A : y = 3 a x$ である。放物線との交点条件は $x^{2} - 2 a x + 4 a^{2} = 3 a x ⟺ (x - a) (x - 4 a) = 0$ であり、 $A$ でない交点から $p = 4 a$ を得る。また原点を通る接線の接点条件 $f (q) = q f^{'} (q)$ から $q^{2} = 4 a^{2}$ となり、 $q > 0$ より $q = 2 a$ である。ゆえに $p > q$ である。

(2) $x = a X, y = a^{2} Y$ とおくと $C : Y = X^{2} - 2 X + 4, O P : Y = 3 X, O Q : Y = 2 X$ となる。したがって図形の形は $a = 1$ の場合と同じで、面積は横方向の倍率 $a$ と縦方向の倍率 $a^{2}$ の積、すなわち $a^{3}$ 倍になる。

$a = 1$ の基準図形では $q = 2, p = 4$ であるから、面積は $\int_{0}^{2} (3 X - 2 X) d X + \int_{2}^{4} {3 X - (X^{2} - 2 X + 4)} d X = 2 + \frac{10}{3} = \frac{16}{3} .$ よって $S = \frac{16}{3} a^{3}$ である。

(3) $\frac{16}{3} a^{3} = \frac{2}{3}$ より $a^{3} = \frac{1}{8}$ であり、 $a > 0$ から $a = \frac{1}{2}$ である。

総評

【公式出題意図・講評との対応】微積分を用いて接線と平面図形の面積を求める標準問題である。公式講評では正答率は高かった一方、求める領域を取り違えた答案があったとされる。本解説では $x = q$ の前後で境界が変わることを図示し、積分区間を分ける理由まで明記した。

難度5、計算量5、想定時間18分。接線条件は $f (q) = q f^{'} (q)$ 、面積は $0 ≦ x ≦ q$ と $q ≦ x ≦ p$ の2区間である。別解では $x = a X, y = a^{2} Y$ により面積が $a^{3}$ に比例することを先に見抜く。

【独立検算】 $a = 1$ として $p = 4, q = 2$ 、2区間の面積がそれぞれ $2, 10 / 3$ になることを再計算し、 $S = 16 a^{3} / 3$ と $a = 1 / 2$ を確認した。

出典: 東北大学令和6年度一般選抜（前期日程）数学（公式出題意図・講評照合）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

東北大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系数学第1問