東北大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
玉は同じ色の中では区別しないので，9回すべて取り出すときの色の並びを考える。赤玉4個の位置を選べば色順は決まるから，可能な色順は $${}_9{\mathrm{C}}_4=126$$ 通りであり，これらは同様に確からしい。

引き分けになるには，Aが赤を取らず，Bが白を取らないまま袋が空になる必要がある。Aの手番は1,3,5,7,9番目，Bの手番は2,4,6,8番目であるから，引き分けの色順は $W,R,W,R,W,R,W,R,W$ の1通りだけである。したがって引き分けとなる確率は $\frac{1}{126}$ である。

(2)
Aが $i$ 回目の手番で勝つ場合を数える。Aは最大5回手番をもつが，5回目までにBが4回赤を取っていると赤玉は残らないので，Aが勝てるのは $i=1,2,3,4$ の場合だけである。

Aが $i$ 回目の手番で勝つには，それ以前の $i-1$ 回のAの手番は白，$i-1$ 回のBの手番は赤であり，Aの $i$ 回目が赤でなければならない。この時点までに赤は $i$ 個，白は $i-1$ 個使われている。残りの $10-2i$ 個の位置には赤が $4-i$ 個入ればよいから，その数は ${}_{10-2i}{\mathrm{C}}_{4-i}$ である。

したがってAが勝つ色順の数は$${}_8{\mathrm{C}}_3+{}_6{\mathrm{C}}_2+{}_4{\mathrm{C}}_1+{}_2{\mathrm{C}}_0=56+15+4+1=76$$である。よってAが勝つ確率は $$\frac{76}{126}=\frac{38}{63}$$ である。

引き分けは唯一の色順を順に引く確率として求める。Aの勝ちは第1回から第4回のAの手番で初めて赤を引く互いに排反な場合へ分ける。

(1)
引き分けになるには，Aが毎回白，Bが毎回赤を引き，最後にAが残った白を引かなければならない。したがって確率は$$\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5!4!}{9!}=\frac{1}{126}\mathrm{.}$$(2)
Aが第1回から第4回の自分の手番で初めて赤を引く確率を順に $P_1,P_2,P_3,P_4$ とする。これらは互いに排反であり，$$P_1=\frac{4}{9},$$$$P_2=\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}\cdot \frac{3}{7},$$$$P_3=\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}\cdot \frac{2}{5},$$$$P_4=\frac{5}{9}\cdot \frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}\mathrm{.}$$共通分母を126にすると$$P_1=\frac{56}{126},P_2=\frac{15}{126},P_3=\frac{4}{126},P_4=\frac{1}{126}\mathrm{.}$$したがって$$P_1+P_2+P_3+P_4=\frac{76}{126}=\frac{38}{63}\mathrm{.}$$