東北大学 2023年度
理系数学 第2問

解答

解法1（標準解法）

(1)

和積公式より $f(x)=\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x$ である。したがって $f(x)=0$ となるのは $\sin 2x=0\text{または}\cos x=0$ のときである。 $\sin 2x=0$ からは $2x=k\pi$ すなわち $x=k\pi /2$ が得られる。また $\cos x=0$ からは $x=\frac{(2k+1)\pi }{2}$ が得られるが，これは $x=k\pi /2$ のうち奇数番目のものに含まれている。よって正の零点全体は $x=\frac{k\pi }{2}(k=1,2,3,\dots )$ である。したがって最小のものは $\frac{\pi }{2}$ である。

(2)

$f(x)=0$ を満たす正の実数 $x$ は $\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},\dots$ である。したがって $p(m)$ は $\frac{k\pi }{2}\leqq m$ を満たす正の整数 $k$ の個数である。

この個数は $2m/\pi$ の整数部分であるから，床関数を使わずに書けば $p(m)\leqq \frac{2m}{\pi }<p(m)+1$ である。両辺を $m$ で割ると $\frac{2}{\pi }-\frac{1}{m}<\frac{p(m)}{m}\leqq \frac{2}{\pi }$ である。$m\to \infty$ で左端と右端はともに $2/\pi$ に近づくので，はさみうちの原理により ${\lim }_{m\to \infty }\frac{p(m)}{m}=\frac{2}{\pi }$ である。

別解（3倍角公式で零点を統合する）

(1)

3倍角公式

を用いると

したがって零点は

である。正の零点を小さい順に並べると

すなわち

である。よって最小のものは

(2)

$p(m)$ は

を満たす正整数 $k$ の個数である。したがって

$m>0$ で割ると

はさみうちの原理により