東北大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
和積公式より $$f(x)=\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x$$ である。したがって $f(x)=0$ となるのは $$\sin 2x=0\text{または}\cos x=0$$ のときである。 $\sin 2x=0$ からは $2x=k\pi$ すなわち $x=k\pi \mathrm{/}2$ が得られる。また $\cos x=0$ からは $$x=\frac{(2k+1)\pi }{2}$$ が得られるが，これは $x=k\pi \mathrm{/}2$ のうち奇数番目のものに含まれている。よって正の零点全体は $$x=\frac{k\pi }{2}(k=1,2,3,\dots )$$ である。したがって最小のものは $\frac{\pi }{2}$ である。

(2) $f(x)=0$ を満たす正の実数 $x$ は $\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},\dots$ である。したがって $p(m)$ は $$\frac{k\pi }{2}\leqq m$$ を満たす正の整数 $k$ の個数である。

この個数は $2m\mathrm{/}\pi$ の整数部分であるから，床関数を使わずに書けば $$p(m)\leqq \frac{2m}{\pi }<p(m)+1$$ である。両辺を $m$ で割ると $$\frac{2}{\pi }-\frac{1}{m}<\frac{p(m)}{m}\leqq \frac{2}{\pi }$$ である。$m\to \mathrm{\infty }$ で左端と右端はともに $2\mathrm{/}\pi$ に近づくので，はさみうちの原理により $$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{p(m)}{m}=\frac{2}{\pi }$$ である。

3倍角公式を用いて $f(x)$ を $4\sin x{\cos }^{2}x$ と因数分解する。二種類の零点を一つの等間隔な列にまとめる。

(1)
3倍角公式$$\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$$を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =4\sin x-4{\sin }^{3}x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sin x(1-{\sin }^{2}x)=4\sin x{\cos }^{2}x\mathrm{.}}\end{array}$$したがって零点は$$\sin x=0\text{または}\cos x=0$$である。正の零点を小さい順に並べると$$\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi ,\dots$$すなわち$$x=\frac{k\pi }{2}(k=1,2,3,\dots )$$である。よって最小のものは$$\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$(2)
$p(m)$ は$$\frac{k\pi }{2}\leqq m$$を満たす正整数 $k$ の個数である。したがって$$\frac{2m}{\pi }-1<p(m)\leqq \frac{2m}{\pi }\mathrm{.}$$$m>0$ で割ると$$\frac{2}{\pi }-\frac{1}{m}<\frac{p(m)}{m}\leqq \frac{2}{\pi }\mathrm{.}$$はさみうちの原理により$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{p(m)}{m}=\frac{2}{\pi }\mathrm{.}$$