東北大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

遷移確率は$$A\to A:\frac{1}{2},A\to B:\frac{1}{2},B\to A:\frac{2}{3},B\to B:\frac{1}{3}$$である。したがって$$p_{n+1}=\frac{1}{2}{p}_n+\frac{2}{3}{q}_n,q_{n+1}=\frac{1}{2}{p}_n+\frac{1}{3}{q}_n\mathrm{.}$$(2)

試行前は $A$ にいるので $p_0=1,q_0=0$ とおける。$q_n=1-p_n$ を用いると$$p_{n+1}=\frac{1}{2}{p}_n+\frac{2}{3}(1-p_n)=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}{p}_n\mathrm{.}$$定常値 $L$ は$$L=\frac{2}{3}-\frac{1}{6}L$$を満たすから $L=4\mathrm{/}7$ である。よって$$p_{n+1}-\frac{4}{7}=-\frac{1}{6}(p_n-\frac{4}{7})\mathrm{.}$$初期値 $p_0=1$ から$$p_n-\frac{4}{7}={(-\frac{1}{6})}^n(1-\frac{4}{7})=\frac{3}{7}{(-\frac{1}{6})}^n\mathrm{.}$$したがって$$p_n=\frac{4}{7}+\frac{3}{7}{(-\frac{1}{6})}^n,q_n=\frac{3}{7}-\frac{3}{7}{(-\frac{1}{6})}^n\mathrm{.}$$

(1) の遷移式から $p_n=1-q_n$ を $q_{n+1}$ に代入する。定常値 $3\mathrm{/}7$ との差を等比数列として求め、最後に $p_n=1-q_n$ とする。

(1)

全確率の公式より$$p_{n+1}=\frac{1}{2}{p}_n+\frac{2}{3}{q}_n,q_{n+1}=\frac{1}{2}{p}_n+\frac{1}{3}{q}_n\mathrm{.}$$(2)

今度は $p_n=1-q_n$ を第2式へ代入する。$$q_{n+1}=\frac{1}{2}(1-q_n)+\frac{1}{3}{q}_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}{q}_n\mathrm{.}$$固定値は $3\mathrm{/}7$ なので、$$q_{n+1}-\frac{3}{7}=-\frac{1}{6}(q_n-\frac{3}{7})\mathrm{.}$$$q_0=0$ より$$q_n-\frac{3}{7}={(-\frac{1}{6})}^n(-\frac{3}{7})\mathrm{.}$$したがって$$q_n=\frac{3}{7}-\frac{3}{7}{(-\frac{1}{6})}^n\mathrm{.}$$さらに $p_n=1-q_n$ だから$$p_n=\frac{4}{7}+\frac{3}{7}{(-\frac{1}{6})}^n\mathrm{.}$$$n=1$ を代入すると $p_1=q_1=1\mathrm{/}2$ となり、最初の試行の結果とも一致する。