東北大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

1回の試行で点 $P$ が正の向きに1だけ進むのは，硬貨で表が出る場合，または硬貨で裏が出てさいころで奇数が出る場合である。したがってその確率は $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$ である。また，負の向きに2だけ進むのは，硬貨で裏が出てさいころで偶数が出る場合なので，その確率は $$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{6}=\frac{1}{4}$$ である。よって，1回の試行は $+1\text{が確率 }\frac{3}{4},-2\text{が確率 }\frac{1}{4}$ で起こると見ればよい。

(1)
3回の試行のうち，$-2$ だけ進む回数を $j$ とする。このとき $+1$ だけ進む回数は $3-j$ 回であり，3回後の位置は $(3-j)-2j=3-3j$ である。原点に戻るには $3-3j=0$ すなわち $j=1$ であればよい。したがって求める確率は$${}_3{\mathrm{C}}_1{\left(\frac{1}{4}\right)}^1{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=3\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{9}{16}=\frac{27}{64}$$である。

(2)
6回の試行のうち，$-2$ だけ進む回数を $j$ とする。このとき6回後の位置は $(6-j)-2j=6-3j$ である。原点に戻るには $6-3j=0$ すなわち $j=2$ であればよい。したがって求める確率は$${}_6{\mathrm{C}}_2{\left(\frac{1}{4}\right)}^2{\left(\frac{3}{4}\right)}^4=15\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac{81}{256}=\frac{1215}{4096}$$である。

(3) $n$ 回の試行のうち，$-2$ だけ進む回数を $j$ とする。このとき $+1$ だけ進む回数は $n-j$ 回であり，$n$ 回後の位置は $(n-j)-2j=n-3j$ である。原点に戻るには $n-3j=0$ すなわち $n=3j$ が必要である。しかし，問題では $n$ は3で割り切れない正の整数であるから，この等式を満たす整数 $j$ は存在しない。したがって原点に戻ることは不可能であり，求める確率は $0$ である。