東北大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$ であるから $a^2+a=1$ が成り立つ。実際，$a^2=(3-\sqrt{5})\mathrm{/}2$ である。

ここで $(x^2-ax+1)(x^2+(a+1)x+1)$ を展開すると，$x^4+x^3+(2-a^2-a)x^2+x+1$ である。$a^2+a=1$ より $2-a^2-a=1$ なので $$(x^2-ax+1)(x^2+(a+1)x+1)=x^4+x^3+x^2+x+1$$ である。したがって $x^4+x^3+x^2+x+1$ は $f(x)$ で割り切れる。

(2) $f(x)=0$ の虚数解のうち虚部が正のものを $\alpha$ とする。(1)より $${\alpha }^4+{\alpha }^3+{\alpha }^2+\alpha +1=0$$ である。また $\alpha =1$ なら左辺は $5$ であり矛盾する。したがって $$(\alpha -1)({\alpha }^4+{\alpha }^3+{\alpha }^2+\alpha +1)={\alpha }^5-1=0$$ より $${\alpha }^5=1,\alpha \mathrm{\ne }1$$ である。

一方，$f(x)=x^2-ax+1$ の2つの解の積は1である。係数は実数なので2つの虚数解は共役であり，その積は $\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2$ に等しい。よって $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$ である。さらに $f(\alpha )=0$ を $\alpha$ で割ると $$\alpha +{\alpha }^{-1}=a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\cos \frac{2\pi }{5}$$ である。 $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$ で虚部が正だから $$\alpha =\cos \theta +i\sin \theta$$，$0<\theta <\pi$ と書ける。このとき $$\alpha +{\alpha }^{-1}=2\cos \theta$$ なので $$\cos \theta =\cos \frac{2\pi }{5}$$ である。$0<2\pi \mathrm{/}5<\pi$ だから $$\theta =\frac{2\pi }{5}$$ である。したがって $$\alpha =\cos \frac{2\pi }{5}+i\sin \frac{2\pi }{5}$$ である。

(3) ${\alpha }^5=1$ であり，$2023$ を $5$ で割ると余りは $3$ である。よって $${\alpha }^{2023}+{\alpha }^{-2023}={\alpha }^3+{\alpha }^{-3}$$ である。(2)の極形式から $${\alpha }^3+{\alpha }^{-3}=2\cos \frac{6\pi }{5}$$ である。$$\cos (6\pi \mathrm{/}5)=-\cos (\pi \mathrm{/}5)$$，$$2\cos (\pi \mathrm{/}5)=(1+\sqrt{5})\mathrm{/}2$$ より $${\alpha }^{2023}+{\alpha }^{-2023}=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ である。

$x^2=ax-1$ を繰り返して4次式の剰余を直接0にする。根については5乗根の偏角と解の和の符号から該当する根を選ぶ。

(1) $$a^2+a=1$$である。$f(x)=0$，すなわち$$x^2=ax-1$$という関係を用いて高次の項を順に下げると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^3}& {\displaystyle =a{x}^2-x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a^2-1)x-a=-ax-a,}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^4}& {\displaystyle =-a{x}^2-ax}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-(a^2+a)x+a=-x+a\mathrm{.}}\end{array}$$よって $f(x)$ を法として$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^4+x^3+x^2+x+1}& {\displaystyle \equiv (-x+a)+(-ax-a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(ax-1)+x+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0.}\end{array}$$したがってこの4次式は $f(x)$ で割り切れる。

(2)
$f(\alpha )=0$ だから (1) より$${\alpha }^4+{\alpha }^3+{\alpha }^2+\alpha +1=0.$$$\alpha \mathrm{\ne }1$ なので$${\alpha }^5-1=(\alpha -1)({\alpha }^4+{\alpha }^3+{\alpha }^2+\alpha +1)=0,$$すなわち ${\alpha }^5=1$ である。

また二根の積は1で，係数が実数だから二根は共役である。よって$$\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2=1,\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1.$$虚部が正の5乗根の候補は偏角 $2\pi \mathrm{/}5,4\pi \mathrm{/}5$ の二つである。一方，二根の和は$$\alpha +\bar{\alpha }=a>0$$だから $\alpha$ の実部は正である。よって偏角は $2\pi \mathrm{/}5$ であり，$$\alpha =\cos \frac{2\pi }{5}+i\sin \frac{2\pi }{5}\mathrm{.}$$(3)
$2023\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$ より$${\alpha }^{2023}+{\alpha }^{-2023}={\alpha }^3+{\alpha }^{-3}=2\cos \frac{6\pi }{5}\mathrm{.}$$$$2\cos \frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$を用いて$${\alpha }^{2023}+{\alpha }^{-2023}=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\mathrm{.}$$