東北大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
与えられた漸化式は $(n+2)a_{n+1}=n{a}_n+2$ である。両辺から $n+2$ を引くと $$(n+2)(a_{n+1}-1)=n(a_n-1)$$ となる。したがって $$a_{n+1}-1=\frac{n}{n+2}(a_n-1)$$ である。

これを繰り返すと，$n\geqq 2$ について $$a_n-1=\frac{1\cdot 2\cdots (n-1)}{3\cdot 4\cdots (n+1)}(s-1)$$ である。分子と分母を整理すると $$\frac{1\cdot 2\cdots (n-1)}{3\cdot 4\cdots (n+1)}=\frac{2}{n(n+1)}$$ であるから，$n=1$ の場合も含めて $$a_n=1+\frac{2(s-1)}{n(n+1)}$$ である。

(2)
(1)より$$\sum _{n=1}^m{a}_n=\sum _{n=1}^m\{1+\frac{2(s-1)}{n(n+1)}\}=m+2(s-1)\sum _{n=1}^m\frac{1}{n(n+1)}$$である。ここで $$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$ だから $$\sum _{n=1}^m\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{m+1}=\frac{m}{m+1}$$ である。

したがって ${\sum }_{n=1}^m{a}_n=0$ は $$0=m+2(s-1)\frac{m}{m+1}$$ と同値である。$m$ は正の整数なので $m>0$ であり，両辺を $m$ で割って $$0=1+\frac{2(s-1)}{m+1}$$ となる。よって $2(s-1)=-(m+1)$ であり，$$s=1-\frac{m+1}{2}=\frac{1-m}{2}$$ である。

定数解1との差を取り，$n(n+1)(a_n-1)$ が $n$ によらないことを示す。和は部分分数分解で望遠和にする。

(1)
漸化式から$$(n+2)(a_{n+1}-1)=n(a_n-1)$$を得る。両辺に $n+1$ を掛けると$$(n+1)(n+2)(a_{n+1}-1)=n(n+1)(a_n-1)\mathrm{.}$$したがって$$b_n=n(n+1)(a_n-1)$$は一定である。初項は$$b_1=2(s-1)$$だから$$n(n+1)(a_n-1)=2(s-1)\mathrm{.}$$よって$$a_n=1+\frac{2(s-1)}{n(n+1)}\mathrm{.}$$(2)$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$より$$\sum _{n=1}^m\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{m+1}=\frac{m}{m+1}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =\sum _{n=1}^m{a}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =m+2(s-1)\frac{m}{m+1}\mathrm{.}}\end{array}$$$m>0$ なので $m$ で割り，$$1+\frac{2(s-1)}{m+1}=0.$$これを解いて$$s=\frac{1-m}{2}\mathrm{.}$$