東北大学 2023年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $$f(x)=-\frac{1}{2}x-\frac{4}{6x+1}$$ であるから $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{2}+\frac{24}{(6x+1{)}^2}$$ である。接線の傾きが1である条件は $$-\frac{1}{2}+\frac{24}{(6x+1{)}^2}=1$$ である。したがって $$\frac{24}{(6x+1{)}^2}=\frac{3}{2}$$ より $(6x+1{)}^2=16$ である。接点の $x$ 座標が正であるから $6x+1=4$ を選び，$x=\frac{1}{2}$ である。このとき $$f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}-1=-\frac{5}{4}$$ なので，接線の方程式は $y+\frac{5}{4}=x-\frac{1}{2}$ すなわち $y=x-\frac{7}{4}$ である。

(2)
線分 $PQ$ 上の点を $(X,Y)$ とし，$u=X,v=Y-X$ とおく。この変換は面積を変えない。$PQ$ 上では $$v=f(x)-x=-\frac{3}{2}x-\frac{4}{6x+1}$$ であり，$x\leqq u\leqq x+1$ である。 $h(x)=f(x)-x$ とおくと $$h^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{3}{2}+\frac{24}{(6x+1{)}^2}$$ である。$h^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は $(6x+1{)}^2=16$ から $x=1\mathrm{/}2$ であり，$0\leqq x\leqq 1\mathrm{/}2$ で増加，$1\mathrm{/}2\leqq x\leqq 2$ で減少する。また$$h(0)=-4,h\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{7}{4},h(2)=-\frac{43}{13}$$である。

同じ $v$ に対応する2つの $x$ を $x_1<x_2$ とする。方程式 $v=h(x)$ を整理すると $18x^2+(3+12v)x+8+2v=0$ である。したがって2解の差は $$x_2-x_1=\frac{\sqrt{(4v-9)(4v+7)}}{6}$$ である。

各 $x$ は $u$ 方向の区間 $[x,x+1]$ を作る。$-4\leqq v\leqq -43\mathrm{/}13$ では対応する $x$ は左側の1つだけなので幅は1である。$-43\mathrm{/}13\leqq v\leqq -7\mathrm{/}4$ では2つの $x$ がある。2つの区間が重ならないのは $x_2-x_1\geqq 1$ のときであり，境目は $$\frac{\sqrt{(4v-9)(4v+7)}}{6}=1$$ から $v=-\frac{9}{4}$ である。よって幅は$$\{\begin{array}{ll}1& (-4\leqq v\leqq -\frac{43}{13}),\\ 2& (-\frac{43}{13}\leqq v\leqq -\frac{9}{4}),\\ 1+{\displaystyle \frac{\sqrt{(4v-9)(4v+7)}}{6}}& (-\frac{9}{4}\leqq v\leqq -\frac{7}{4})\end{array}$$である。

したがって面積 $S$ は$$S={\int }_{-4}^{-43\mathrm{/}13}1dv+{\int }_{-43\mathrm{/}13}^{-9\mathrm{/}4}2dv+{\int }_{-9\mathrm{/}4}^{-7\mathrm{/}4}(1+\frac{\sqrt{(4v-9)(4v+7)}}{6})dv$$である。

最後の根号を含む積分について，$t=4v+8$ とおくと，$v=-9\mathrm{/}4$ で $t=-1$，$v=-7\mathrm{/}4$ で $t=1$ であり，$$(4v-9)(4v+7)=(t-17)(t-1)=(17-t)(1-t)$$ となる。この計算から$${\int }_{-9\mathrm{/}4}^{-7\mathrm{/}4}\frac{\sqrt{(4v-9)(4v+7)}}{6}dv=\frac{5}{4}-\frac{4}{3}\log 2$$である。よって$$S=\frac{9}{13}+\frac{55}{26}+\frac{1}{2}+\frac{5}{4}-\frac{4}{3}\log 2=\frac{237}{52}-\frac{4}{3}\log 2$$である。

概形は，$u,v$ 平面では $v=-4$ から $v=-43\mathrm{/}13$ まで幅1，$v=-43\mathrm{/}13$ から $v=-9\mathrm{/}4$ まで幅2，その後 $v=-7\mathrm{/}4$ に向かって2つの区間が重なりながら幅が1へ近づく図形である。元の $(X,Y)$ 平面では，これを $Y=X+v$ の斜め方向に戻した掃過領域になる。

線分を $(x+t,f(x)+t)$ と媒介表示し，$x=1\mathrm{/}2$ の両側が作る二領域の面積を求める。同じ高さで重なる部分だけ二次方程式の根の差を用いて引く。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{2}+\frac{24}{(6x+1{)}^2}\mathrm{.}$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1$ より$$(6x+1{)}^2=16.$$正の解は $x=1\mathrm{/}2$ であり，$$f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{5}{4}\mathrm{.}$$したがって接線は$$y+\frac{5}{4}=x-\frac{1}{2},y=x-\frac{7}{4}\mathrm{.}$$(2)
線分上の点を$$(X,Y)=(x+t,f(x)+t),0\leqq t\leqq 1$$と表し，$$u=X,v=Y-X$$とおく。このせん断は面積を保ち，$$v=h(x):=f(x)-x=-\frac{3}{2}x-\frac{4}{6x+1},x\leqq u\leqq x+1$$となる。$$h(0)=-4,h\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{7}{4},h(2)=-\frac{43}{13}\mathrm{.}$$$h$ は $[0,1\mathrm{/}2]$ で増加し，$[1\mathrm{/}2,2]$ で減少する。それぞれの枝が作る領域の水平幅は1なので，面積は$$\mathrm{\mid }{D}_{-}\mathrm{\mid }=-\frac{7}{4}-(-4)=\frac{9}{4},$$$$\mathrm{\mid }{D}_{+}\mathrm{\mid }=-\frac{7}{4}-(-\frac{43}{13})=\frac{81}{52}\mathrm{.}$$同じ $v$ に対応する二つの解を $x_1<x_2$ とする。$v=h(x)$ を整理すると$$18x^2+(3+12v)x+8+2v=0$$であるから$$x_2-x_1=\frac{\sqrt{(4v-9)(4v+7)}}{6}\mathrm{.}$$二つの長さ1の区間が重なるのは $x_2-x_1<1$，すなわち$$-\frac{9}{4}<v\leqq -\frac{7}{4}$$のときである。重なりの幅は$$1-\frac{\sqrt{(4v-9)(4v+7)}}{6}\mathrm{.}$$根号部分の積分を $I$ とおく。$t=4v+8$，さらに $w=1-t$ と置けば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={\int }_{-9\mathrm{/}4}^{-7\mathrm{/}4}\frac{\sqrt{(4v-9)(4v+7)}}{6}dv}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{24}{\int }_0^2\sqrt{w(w+16)}dw\mathrm{.}}\end{array}$$$$\sqrt{w(w+16)}=\sqrt{(w+8{)}^2-64}$$ として積分すると$$I=\frac{5}{4}-\frac{4}{3}\log 2.$$よって重なりの面積は$$\frac{1}{2}-I=-\frac{3}{4}+\frac{4}{3}\log 2.$$したがって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }{D}_{-}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{D}_{+}\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }{D}_{-}\cap D_{+}\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{9}{4}+\frac{81}{52}-(-\frac{3}{4}+\frac{4}{3}\log 2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{237}{52}-\frac{4}{3}\log 2.}\end{array}$$上図を逆せん断して $Y=X+v$ と戻したものが，元の座標平面での概形である。