東北大学 2023年度理系数学第6問解答・解説

問題

関数 $f (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{4}{6 x + 1}$ について，以下の問いに答えよ。

(1) 曲線 $y = f (x)$ の接線で，傾きが1であり，かつ接点の $x$ 座標が正であるものの方程式を求めよ。

(2) 座標平面上の2点 $P (x, f (x))$ ， $Q (x + 1, f (x) + 1)$ を考える。 $x$ が $0 ≦ x ≦ 2$ の範囲を動くとき，線分 $P Q$ が通過してできる図形 $S$ の概形を描け。また $S$ の面積を求めよ。

出典：東北大学 2023年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

解法1（標準解法）

(1) は $f^{'} (x) = 1$ を解き，接点の $x$ 座標が正の解を選ぶ。(2) は文系第4問と同じく $u = X, v = Y - X$ に変換し，掃過線分を $v = h (x) = f (x) - x$ ， $x ≦ u ≦ x + 1$ と見る。 $h (x)$ は $[0, 1/2]$ で増加， $[1/2, 2]$ で減少するので，同じ $v$ に対応する2つの $x$ の間隔を2次方程式の根の差で求める。2区間が重なるかどうかの境目 $x_{2} - x_{1} = 1$ を使って幅を分け，積分する。

別解（媒介変換の面積から重複分を引く）

線分を $(x + t, f (x) + t)$ と媒介表示し， $x = 1/2$ の両側が作る二領域の面積を求める。同じ高さで重なる部分だけ二次方程式の根の差を用いて引く。

解答

解法1（標準解法）

(1)

$f (x) = - \frac{1}{2} x - \frac{4}{6 x + 1}$ であるから $f^{'} (x) = - \frac{1}{2} + \frac{24}{( 6 x + 1 ) ^{2}}$ である。接線の傾きが1である条件は $- \frac{1}{2} + \frac{24}{( 6 x + 1 ) ^{2}} = 1$ である。したがって $\frac{24}{( 6 x + 1 ) ^{2}} = \frac{3}{2}$ より $(6 x + 1)^{2} = 16$ である。接点の $x$ 座標が正であるから $6 x + 1 = 4$ を選び， $x = \frac{1}{2}$ である。このとき $f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} - 1 = - \frac{5}{4}$ なので，接線の方程式は $y + \frac{5}{4} = x - \frac{1}{2}$ すなわち $y = x - \frac{7}{4}$ である。

(2)

線分 $P Q$ 上の点を $(X, Y)$ とし， $u = X, v = Y - X$ とおく。この変換は面積を変えない。 $P Q$ 上では $v = f (x) - x = - \frac{3}{2} x - \frac{4}{6 x + 1}$ であり， $x ≦ u ≦ x + 1$ である。 $h (x) = f (x) - x$ とおくと $h^{'} (x) = - \frac{3}{2} + \frac{24}{( 6 x + 1 ) ^{2}}$ である。 $h^{'} (x) = 0$ は $(6 x + 1)^{2} = 16$ から $x = 1/2$ であり， $0 ≦ x ≦ 1/2$ で増加， $1/2 ≦ x ≦ 2$ で減少する。また

h (0) = - 4, h (\frac{1}{2}) = - \frac{7}{4}, h (2) = - \frac{43}{13}

である。

同じ $v$ に対応する2つの $x$ を $x_{1} < x_{2}$ とする。方程式 $v = h (x)$ を整理すると $18 x^{2} + (3 + 12 v) x + 8 + 2 v = 0$ である。したがって2解の差は $x_{2} - x_{1} = \frac{( 4 v - 9 ) ( 4 v + 7 )}{6}$ である。

各 $x$ は $u$ 方向の区間 $[x, x + 1]$ を作る。 $- 4 ≦ v ≦ - 43/13$ では対応する $x$ は左側の1つだけなので幅は1である。 $- 43/13 ≦ v ≦ - 7/4$ では2つの $x$ がある。2つの区間が重ならないのは $x_{2} - x_{1} ≧ 1$ のときであり，境目は $\frac{( 4 v - 9 ) ( 4 v + 7 )}{6} = 1$ から $v = - \frac{9}{4}$ である。よって幅は

⎩ ⎨ ⎧ 12 1 + \frac{( 4 v - 9 ) ( 4 v + 7 )}{6} (- 4 ≦ v ≦ - \frac{43}{13}), (- \frac{43}{13} ≦ v ≦ - \frac{9}{4}), (- \frac{9}{4} ≦ v ≦ - \frac{7}{4})

である。

したがって面積 $S$ は

S = \int_{- 4}^{- 43/13} 1 d v + \int_{- 43/13}^{- 9/4} 2 d v + \int_{- 9/4}^{- 7/4} (1 + \frac{( 4 v - 9 ) ( 4 v + 7 )}{6}) d v

である。

最後の根号を含む積分について， $t = 4 v + 8$ とおくと， $v = - 9/4$ で $t = - 1$ ， $v = - 7/4$ で $t = 1$ であり， $(4 v - 9) (4 v + 7) = (t - 17) (t - 1) = (17 - t) (1 - t)$ となる。この計算から

\int_{- 9/4}^{- 7/4} \frac{( 4 v - 9 ) ( 4 v + 7 )}{6} d v = \frac{5}{4} - \frac{4}{3} lo g 2

である。よって

S = \frac{9}{13} + \frac{55}{26} + \frac{1}{2} + \frac{5}{4} - \frac{4}{3} lo g 2 = \frac{237}{52} - \frac{4}{3} lo g 2

である。

概形は， $u, v$ 平面では $v = - 4$ から $v = - 43/13$ まで幅1， $v = - 43/13$ から $v = - 9/4$ まで幅2，その後 $v = - 7/4$ に向かって2つの区間が重なりながら幅が1へ近づく図形である。元の $(X, Y)$ 平面では，これを $Y = X + v$ の斜め方向に戻した掃過領域になる。

別解（媒介変換の面積から重複分を引く）

(1)

f^{'} (x) = - \frac{1}{2} + \frac{24}{( 6 x + 1 ) ^{2}} .

$f^{'} (x) = 1$ より

(6 x + 1)^{2} = 16.

正の解は $x = 1/2$ であり，

f (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{4} .

したがって接線は

y + \frac{5}{4} = x - \frac{1}{2}, y = x - \frac{7}{4} .

(2)

線分上の点を

(X, Y) = (x + t, f (x) + t), 0 ≦ t ≦ 1

と表し，

u = X, v = Y - X

とおく。このせん断は面積を保ち，

v = h (x) := f (x) - x = - \frac{3}{2} x - \frac{4}{6 x + 1}, x ≦ u ≦ x + 1

となる。

h (0) = - 4, h (\frac{1}{2}) = - \frac{7}{4}, h (2) = - \frac{43}{13} .

$h$ は $[0, 1/2]$ で増加し， $[1/2, 2]$ で減少する。それぞれの枝が作る領域の水平幅は1なので，面積は

∣ D_{-} ∣ = - \frac{7}{4} - (- 4) = \frac{9}{4},

∣ D_{+} ∣ = - \frac{7}{4} - (- \frac{43}{13}) = \frac{81}{52} .

同じ $v$ に対応する二つの解を $x_{1} < x_{2}$ とする。 $v = h (x)$ を整理すると

18 x^{2} + (3 + 12 v) x + 8 + 2 v = 0

であるから

x_{2} - x_{1} = \frac{( 4 v - 9 ) ( 4 v + 7 )}{6} .

二つの長さ1の区間が重なるのは $x_{2} - x_{1} < 1$ ，すなわち

- \frac{9}{4} < v ≦ - \frac{7}{4}

のときである。重なりの幅は

1 - \frac{( 4 v - 9 ) ( 4 v + 7 )}{6} .

根号部分の積分を $I$ とおく。 $t = 4 v + 8$ ，さらに $w = 1 - t$ と置けば

I = \int_{- 9/4}^{- 7/4} \frac{( 4 v - 9 ) ( 4 v + 7 )}{6} d v = \frac{1}{24} \int_{0}^{2} w (w + 16) d w .

$w (w + 16) = (w + 8)^{2} - 64$ として積分すると

I = \frac{5}{4} - \frac{4}{3} lo g 2.

よって重なりの面積は

\frac{1}{2} - I = - \frac{3}{4} + \frac{4}{3} lo g 2.

したがって求める面積は

S = ∣ D_{-} ∣ + ∣ D_{+} ∣ - ∣ D_{-} \cap D_{+} ∣ = \frac{9}{4} + \frac{81}{52} - (- \frac{3}{4} + \frac{4}{3} lo g 2) = \frac{237}{52} - \frac{4}{3} lo g 2.

上図を逆せん断して $Y = X + v$ と戻したものが，元の座標平面での概形である。

東北大学 2023年度理系数学 第6問

問題

方針

解法1（標準解法）

別解（媒介変換の面積から重複分を引く）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

別解（媒介変換の面積から重複分を引く）

(1)

(2)

東北大学 2023年度
理系数学第6問