東北大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
$x_n,y_n>0$ なので$$a_n={\log }_2{x}_n,b_n={\log }_2{y}_n$$とおける。漸化式の対数をとると$$a_{n+1}=5a_n+2b_n,b_{n+1}=a_n+6b_n$$である。初期値は $(a_1,b_1)=(1,-1)$ だから$$(a_2,b_2)=(3,-5),(a_3,b_3)=(5,-27)$$となる。

$c_n=a_n+k{b}_n$ とおくと$$c_1=1-k,c_2=3-5k,c_3=5-27k\mathrm{.}$$まず $k=1$ なら $c_1=0,c_2=-2$ であり、公比 $r$ に対して $c_2=r{c}_1$ とならないので等比数列ではない。$k\mathrm{\ne }1$ のとき、等比数列であるためには少なくとも$$c_2^2=c_1{c}_3$$が必要である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =(3-5k{)}^2-(1-k)(5-27k)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2(k-2)(k+1)}\end{array}$$より $k=2,-1$ に限られる。

逆に $k=2$ なら$$a_{n+1}+2b_{n+1}=7(a_n+2b_n)$$なので公比7の等比数列である。また $k=-1$ なら$$a_{n+1}-b_{n+1}=4(a_n-b_n)$$なので公比4の等比数列である。よって必要十分な $k$ は$$k=2,-1$$である。

(2)
上で得た2本の等比数列の初項は$$a_1+2b_1=-1,a_1-b_1=2$$であるから$$a_n+2b_n=-7^{n-1},a_n-b_n=2\cdot 4^{n-1}\mathrm{.}$$後者を2倍して前者と加えると$$3a_n=4\cdot 4^{n-1}-7^{n-1}=4^n-7^{n-1}\mathrm{.}$$したがって$$a_n=\frac{4^n-7^{n-1}}{3},x_n=2^{a_n}=2^{\frac{4^n-7^{n-1}}{3}}$$である。$n=1$ を代入すると $x_1=2$ となり、初期値とも一致する。

(1) は最初の3項に等比条件を課し、候補 $k=2,-1$ を得て十分性を直接確認する。(2) は $b_n$ を消去して $a_n$ の2階線形漸化式を作り、特性方程式で解く。

(1)
$(a_1,b_1)=(1,-1)$、$(a_2,b_2)=(3,-5)$、$(a_3,b_3)=(5,-27)$ である。$c_n=a_n+k{b}_n$ とおけば$$c_1=1-k,c_2=3-5k,c_3=5-27k\mathrm{.}$$$k=1$ は $c_1=0,c_2\mathrm{\ne }0$ なので不適である。それ以外では $c_2^2=c_1{c}_3$ が必要で、$$(3-5k{)}^2=(1-k)(5-27k)$$を解くと $k=2,-1$ を得る。実際$$a_{n+1}+2b_{n+1}=7(a_n+2b_n),a_{n+1}-b_{n+1}=4(a_n-b_n)$$なので、どちらも十分である。

(2)
第一の漸化式から$$2b_n=a_{n+1}-5a_n$$である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+2}}& {\displaystyle =5a_{n+1}+2b_{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5a_{n+1}+2a_n+12b_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =11a_{n+1}-28a_n\mathrm{.}}\end{array}$$初期値は $a_1=1,a_2=3$ である。特性方程式$${\lambda }^2-11\lambda +28=(\lambda -4)(\lambda -7)=0$$より$$a_n=A{4}^{n-1}+B{7}^{n-1}\mathrm{.}$$$A+B=1,4A+7B=3$ を解くと $A=4\mathrm{/}3,B=-1\mathrm{/}3$ であるから$$a_n=\frac{4^n-7^{n-1}}{3},x_n=2^{\frac{4^n-7^{n-1}}{3}}\mathrm{.}$$この式は元の初期値と漸化式から導いたので全ての自然数 $n$ に対して成り立つ。