東北大学 2025年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

$A{B}^2=3\mathrm{/}4+9\mathrm{/}4=3$である。$OA=OB=1$より，小さい方の中心角$\mathrm{\angle }AOB$は${120}^{\circ }$となる。
$P=A,B$では$AP\cdot BP=0$なので，以下ではその二点を除く。

$P$が大きい弧$AB$上にあるとき，円周角$\mathrm{\angle }APB$は${60}^{\circ }$である。余弦定理より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 3}& {\displaystyle =A{P}^2+B{P}^2-AP\cdot BP}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(AP-BP{)}^2+AP\cdot BP\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$AP\cdot BP\le 3$であり，等号は$AP=BP$のときに限る。

$P$が小さい弧$AB$上にあるときは$\mathrm{\angle }APB={120}^{\circ }$なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 3}& {\displaystyle =A{P}^2+B{P}^2+AP\cdot BP}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(AP-BP{)}^2+3AP\cdot BP\mathrm{.}}\end{array}$$よって$AP\cdot BP\le 1$である。

$P=(x,y)$として$AP=BP$を座標で表すと$$x^2+(y-1{)}^2={(x+\frac{\sqrt{3}}{2})}^2+{(y+\frac{1}{2})}^2,$$すなわち$\sqrt{3}x+3y=0$である。これと$x^2+y^2=1$を連立すると$$P=(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}),(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})\mathrm{.}$$前者が大きい弧$AB$の中点であり，そこで積3が実現する。したがって$$C=(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}),AC\cdot BC=3.$$

直交する二方向の成分で距離の積を一変数にする。

$\mathit{q}=(-\sqrt{3}\mathrm{/}2,1\mathrm{/}2)$，$\mathit{v}=(1\mathrm{/}2,\sqrt{3}\mathrm{/}2)$とおく。
二つは互いに垂直な単位ベクトルなので，$\overrightarrow{OP}=u\mathit{q}+v\mathit{v}$と表すと
$u^2+v^2=1$である。
$\overrightarrow{OA}=\mathit{q}\mathrm{/}2+\sqrt{3}\mathit{v}\mathrm{/}2$，
$\overrightarrow{OB}=\mathit{q}\mathrm{/}2-\sqrt{3}\mathit{v}\mathrm{/}2$より$$A{P}^2=2-u-\sqrt{3}v,B{P}^2=2-u+\sqrt{3}v\mathrm{.}$$したがって$$(AP\cdot BP{)}^2=(2-u{)}^2-3v^2=(2u-1{)}^2\mathrm{.}$$$-1\le u\le 1$であるから$AP\cdot BP=\mathrm{\mid }2u-1\mathrm{\mid }\le 3$。
等号は$u=-1,v=0$のときに限り，$\overrightarrow{OP}=-\mathit{q}$から答案の点$C$を得る。

距離の積は非負なので，二乗を求めた後に平方根を取るときは絶対値を付ける。