東北大学 2026年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1) $P=(x,y,z)$とおく。$x^2+y^2+z^2=1$より$$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=1-x-y$$であり，他の二つも同様に計算すると$$w=3-2(x+y+z)\mathrm{.}$$よって$w=1$は$x+y+z=1$と同値。
原点からこの平面への垂足は$$H=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})\mathrm{.}$$$O{H}^2=1\mathrm{/}3<1$なので切り口は円であり，$H{P}^2=O{P}^2-O{H}^2=2\mathrm{/}3$。
したがって半径は$$\sqrt{\frac{2}{3}}\mathrm{.}$$(2) $\mathit{u}=\overrightarrow{HP}$とおくと$$\mathit{u}\cdot (1,1,1)=0,\mathrm{\mid }\mathit{u}\mathrm{\mid }=\sqrt{\frac{2}{3}}\mathrm{.}$$$\overrightarrow{OD}=2(1,1,1)+(-1,0,1)$より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{D}^2}& {\displaystyle =15-2\overrightarrow{OD}\cdot \overrightarrow{OP}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =11-2(-1,0,1)\cdot \mathit{u}\mathrm{.}}\end{array}$$内積の不等式から$$\mathrm{\mid }(-1,0,1)\cdot \mathit{u}\mathrm{\mid }\le \frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$等号は$\mathit{u}=\pm (-1,0,1)\mathrm{/}\sqrt{3}$で成立する。よって$$\text{最大値 }11+\frac{4}{\sqrt{3}},P=(\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{3},\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}),$$$$\text{最小値 }11-\frac{4}{\sqrt{3}},P=(\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{3},\frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}})\mathrm{.}$$

主解と異なる見方による補足。

$t=z-x$とおく。$x+y+z=1$と$x^2+y^2+z^2=1$から$$t^2=\frac{4}{3}-3{(y-\frac{1}{3})}^2\le \frac{4}{3}\mathrm{.}$$また$x+2y+3z=2+t$なので$P{D}^2=11-2t$。
ゆえに$-2\mathrm{/}\sqrt{3}\le t\le 2\mathrm{/}\sqrt{3}$を使えば，同じ最大値と最小値を得る。
等号のとき$y=1\mathrm{/}3$，$x+z=2\mathrm{/}3$を$t=z-x$と連立すると，二点の座標も決まる。

球面と平面の式を直接使う方法である。
等号となる二点が実際に円周上にあることも，連立した式から確認できる。