東北大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
点 $D$ は $$\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}$$ を満たすので，平面 $ABC$ 上にある。平面 $ABC$ 内で，点 $A$ を原点，$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を基準の2方向として座標を考える。このとき $$A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1),D=(3,2)$$ と表せる。

図は平面 $ABC$ 内の斜交座標を模式的に描いたものである。$D$ は三角形 $ABC$ の外にあり、四角形の頂点順は $A,B,D,C$ となる。

三角形 $ABC$ の面積は，この座標で $\frac{1}{2}$ に対応する。一方，四角形 $ABDC$ の面積は，頂点を $A,B,D,C$ の順に見て，三角形 $ABD$ と三角形 $ADC$ に分けると $$[ABD]=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1,[ADC]=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 1=\frac{3}{2}$$ である。したがって $$[ABDC]=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$$ である。よって $$[ABDC]:[ABC]=\frac{5}{2}:\frac{1}{2}=5:1$$ である。

四角錐 $OABDC$ と四面体 $OABC$ は，頂点 $O$ から平面 $ABC$ への高さが同じである。したがって体積比は底面積比に等しく，四角錐 $OABDC$ の体積は $5V$ である。

(2) $$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a},\overrightarrow{AC}=\vec{c}-\vec{a}$$であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{AD}}& {\displaystyle =3(\vec{b}-\vec{a})+2(\vec{c}-\vec{a})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-5\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c}}\end{array}$$である。したがって$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+(-5\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c})$$より $$\overrightarrow{OD}=-4\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c}$$ である。

(3)
点 $P$ は線分 $AD$ 上にあるので，ある実数 $s$ を用いて$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{AD}=\vec{a}+s(-5\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c})$$と表せる。すなわち $$\overrightarrow{OP}=(1-5s)\vec{a}+3s\vec{b}+2s\vec{c}$$ である。

一方，点 $P$ は線分 $BC$ 上にもある。線分 $BC$ 上の点は $\vec{b},\vec{c}$ の係数の和が1で，$\vec{a}$ の成分をもたない形で表される。したがって上の式で $\vec{a}$ の係数が0でなければならない。よって $1-5s=0$ から $s=\frac{1}{5}$ である。したがって $$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c}$$ である。これは係数がどちらも $0$ 以上で和が1なので，確かに線分 $BC$ 上の点を表している。ゆえに $$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c}$$ である。

(4)
四面体 $OABC$ が1辺の長さ1の正四面体であるから $$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1$$ であり，また三角形 $OAB,OBC,OCA$ はすべて正三角形なので $$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}$$ である。(2)より $$\overrightarrow{OD}=-4\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c}$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\overrightarrow{OD}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =16\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+9\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+4\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +2(-4)(3)(\vec{a}\cdot \vec{b})+2(-4)(2)(\vec{a}\cdot \vec{c})+2(3)(2)(\vec{b}\cdot \vec{c})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16+9+4+2(-12\cdot \frac{1}{2}-8\cdot \frac{1}{2}+6\cdot \frac{1}{2})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =29+2(-6-4+3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =15}\end{array}$$である。したがって $$OD=\sqrt{15}$$ である。