東北大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) 放物線 $y=x^2$ 上の点を $(v,v^2)$ とする。この点における接線は，$y=2v(x-v)+v^2=2vx-v^2$ である。この接線が点 $(u,u-1)$ を通るための条件は $u-1=2uv-v^2$ すなわち $v^2-2uv+u-1=0$ である。

この2次方程式の判別式は$$(-2u{)}^2-4(u-1)=4(u^2-u+1)=4\{{(u-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}\}>0$$であるから，この方程式は相異なる2実根をもつ。各根 $v$ に対して接線 $y=2vx-v^2$ が一意に定まり，相異なる根からは傾きの異なる接線が得られる。したがって，条件を満たす接線はちょうど2本である。

(2) 2つの根を $v_1,v_2$ とおくと，根と係数の関係より $$v_1+v_2=2u,v_1{v}_2=u-1$$ である。

2つの接点を $$P_1=(v_1,v_1^2),P_2=(v_2,v_2^2)$$ とする。線分 $P_1{P}_2$ の傾きは $$\frac{v_1^2-v_2^2}{v_1-v_2}=v_1+v_2=2u$$ である。したがって，その垂直二等分線の傾きは $-\frac{1}{2u}$ である。ここで $u>0$ なので，この値は定義できる。

次に，線分 $P_1{P}_2$ の中点を $M$ とする。中点の座標は $$M=(\frac{v_1+v_2}{2},\frac{v_1^2+v_2^2}{2})$$ であり，$$\frac{v_1+v_2}{2}=u$$ また$$\frac{v_1^2+v_2^2}{2}=\frac{(v_1+v_2{)}^2-2v_1{v}_2}{2}=\frac{4u^2-2(u-1)}{2}=2u^2-u+1$$である。よって $M=(u,2u^2-u+1)$ である。

垂直二等分線は点 $M$ を通り，傾き $-1\mathrm{/}(2u)$ をもつので，$$y-(2u^2-u+1)=-\frac{1}{2u}(x-u)$$ と表される。この直線と $y$ 軸との交点では $x=0$ であるから，その $y$ 座標を $q(u)$ とすると $$q(u)=2u^2-u+1+\frac{1}{2}=2u^2-u+\frac{3}{2}$$ である。

これを平方完成すると，$$q(u)=2{(u-\frac{1}{4})}^2+\frac{11}{8}$$ となる。条件 $u>0$ の範囲に $u=1\mathrm{/}4$ は含まれる。したがって，$q(u)$ の最小値は $\frac{11}{8}$ であり，それを与えるのは $u=\frac{1}{4}$ である。