Evolton

東京大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

a，b，c，dを実数の定数として，関数f(x)=ax3+bx2+cx+dを考える．

(1) 関数f(x)が3条件

(イ) f(−1)=0

(ロ) f(1)=0

(ハ) ∣x∣≦1のときf(x)≧1−∣x∣

をみたすのは，定数a，b，c，dがどのような条件をみたすときか．

(2) 条件(イ)，(ロ)，(ハ)をみたす関数f(x)のうちで，
積分∫−11{f′(x)−x}2dxの値を最小にするものを求めよ．

難易度8/ 10計算量8/ 10目安35分

微分、積分、方程式・不等式　式変形、不等式評価、微分による最大最小

方針

端点条件から f(x)=(x2−1)(px+q) と因数分解する。
∣x∣≦1 の不等式を u=∣x∣ でまとめ、積分では偶関数部分と奇関数部分の交差項が消えることを使う。

解答

(1)

f(−1)=f(1)=0 よりf(x)=(x2−1)(px+q).係数を比較するとa=p,b=q,c=−p,d=−q.0≦u<1 とする。x=u,−u の両方で条件（ハ）を満たすことは(1+u)(q+pu)≦−1,(1+u)(q−pu)≦−1と同値である。したがってq≦−11+u−∣p∣u(0≦u≦1).右辺の2階微分は負なので、その最小値は端点で取る。u=0,1 を調べればq≦−1,q≦−12−∣p∣.よって必要十分条件はc=−a,d=−b,b≦−1,b≦−12−∣a∣.(2)f′(x)−x=p(3x2−1)+(2q−1)x.前半は偶関数、後半は奇関数なので交差項の積分は0である。したがってI=∫−11{f′(x)−x}2 dx=85p2+23(2q−1)2.固定した s=∣p∣ に対して、許される最大の q を取ればよい。
0≦s≦1/2 では q=−1 なのでI=6+85s2≧6.s>1/2 では q=−1/2−s なのでI=85s2+83(1+s)2>325>6.ゆえに p=0,q=−1 のとき最小となりf(x)=1−x2.\newpage

別解

解法2（偶奇に分けて制約を見る）

方針

f(u) と f(−u) を同時に用いて、絶対値条件を2本の一次条件へ分ける。
積分では偶部分 a(3x2−1) と奇部分 (2b−1)x の直交を使い、許容領域上で最小化する。

解答

(1)

端点条件よりf(x)=(x2−1)(ax+b),c=−a,d=−b.0≦u<1 で f(u)≧1−u、f(−u)≧1−u をそれぞれ整理すると(1+u)(b+au)≦−1,(1+u)(b−au)≦−1.したがって必要十分条件はb≦−11+u−∣a∣u(0≦u≦1).右辺の2階微分は負なので、区間での最小値は端点のいずれかで取る。
よってc=−a,d=−b,b≦−1,b≦−12−∣a∣.(2)f′(x)−x=a(3x2−1)+(2b−1)x.前半は偶関数、後半は奇関数なので交差項の積分は0であり、I=∫−11{f′(x)−x}2 dx=85a2+23(2b−1)2.固定した s=∣a∣ に対し、許される最大の b を選ぶのが最善である。
0≦s≦1/2 では b=−1 でI=6+85s2≧6.s>1/2 では b=−1/2−s でI=85s2+83(1+s)2>325>6.よって a=0,b=−1 のとき最小でf(x)=1−x2.

総評

難度は10段階中8、計算量は10段階中8程度。想定時間は30分から40分程度。三次式を (x2−1)(px+q) と置いて次数を下げ、絶対値付き不等式を u=∣x∣ でまとめるのが重要である。採点では、条件（ハ）を (1+u)(q+∣p∣u)≦−1 に直すこと、端点条件 q≦−1, q≦−1/2−∣p∣ を出すこと、積分を p,q の2次式として最小化することが見られる。最後の最小化では、制約のため q が正側へ近づけない点を明確にしたい。

冊子PDFで見る東大の微分の問題で問題集を作る

出典: 東京大学 1981年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。