東京大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
曲線は $$y=\frac{x^3}{6}+\frac{1}{2x}$$ であるから $$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2x^2}$$ である。したがって弧長要素は$$\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx=\sqrt{1+\frac{1}{4}{(x^2-\frac{1}{x^2})}^2}dx$$である。根号内を整理すると$$1+\frac{1}{4}{(x^2-\frac{1}{x^2})}^2=\frac{1}{4}{(x^2+\frac{1}{x^2})}^2$$であるから，$x>0$ では$$\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}=\frac{1}{2}(x^2+\frac{1}{x^2})$$となる。

速度の $x$ 成分は常に正または0なので，$x$ は出発時の $1$ から増加する向きに動く。よって出発点から $(x,y)$ までの道のりは$${\int }_1^x\frac{1}{2}(u^2+\frac{1}{u^2})du={[\frac{u^3}{6}-\frac{1}{2u}]}_1^x=\frac{x^3}{6}-\frac{1}{2x}+\frac{1}{3}$$である。

一方，速さは $t\mathrm{/}2$ であるから，出発してから $t$ 秒までの道のりは $${\int }_0^t\frac{\tau }{2}d\tau =\frac{t^2}{4}$$ である。したがって求める関係式は $${\displaystyle \frac{x^3}{6}-\frac{1}{2x}+\frac{1}{3}=\frac{t^2}{4}}$$ である。

(2)
速度ベクトルは曲線の接線方向を向く。$\vec{v}$ の $x$ 成分は非負であるから，$(8,15)$ と平行になるためには接線の傾きが $\frac{15}{8}$ であればよい。よって $$\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2x^2}=\frac{15}{8}$$ を解く。$X=x^2$ とおくと $$\frac{X}{2}-\frac{1}{2X}=\frac{15}{8}$$ であり，$4X^2-15X-4=0$ を得る。これを因数分解すると $(4X+1)(X-4)=0$ である。$X=x^2>0$ だから $X=4,x=2$ である。

(1) の関係式に $x=2$ を代入すると $$\frac{t^2}{4}=\frac{8}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{17}{12}$$ である。したがって $$t^2=\frac{17}{3}$$ であり，$t\geqq 0$ だから $${\displaystyle t=\sqrt{\frac{17}{3}}}$$ 秒後である。