東京大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

円の中心を $P_t=(r,s)$ とおく。円は直線 $x=0$ に接し、集合 $A$ の中にあるので、半径は中心の $x$ 座標である $r$ である。

接点を $Q=(t,\log t)$ とする。曲線 $y=\log x$ の $Q$ における接線の傾きは ${\displaystyle \frac{1}{t}}$ であるから、法線の傾きは $-t$ である。中心 $P_t$ はこの法線上にあるので $s-\log t=-t(r-t)$ すなわち $s=-tr+t^2+\log t$ である。

また $Q$ から中心までの距離は半径 $r$ に等しい。したがって $$(t-r{)}^2+\{s-\log t{\}}^2=r^2$$ である。上の式から $s-\log t=-t(r-t)$ なので $(t-r{)}^2+t^2(t-r{)}^2=r^2$ となる。集合 $A$ は曲線 $y=\log x$ の上側なので、接点で円の中心は接線の上側、すなわち法線ベクトル $(-1\mathrm{/}t,1)$ の向きにある。したがって中心は接点より左にあり $0<r<t$ である。このため、$$(t-r)\sqrt{1+t^2}=r$$ である。これを解くと $$r={\displaystyle \frac{t\sqrt{1+t^2}}{1+\sqrt{1+t^2}}}$$ である。

また $$t-r={\displaystyle \frac{t}{1+\sqrt{1+t^2}}}$$ だから $$s=\log t+t(t-r)=\log t+{\displaystyle \frac{t^2}{1+\sqrt{1+t^2}}}$$ である。よって$$f(t)={\displaystyle \frac{t\sqrt{1+t^2}}{1+\sqrt{1+t^2}}},g(t)=\log t+{\displaystyle \frac{t^2}{1+\sqrt{1+t^2}}}$$である。

i) $t\to 0$ のとき $f(t)\to 0$ であり、$$g(t)=\log t+{\displaystyle \frac{t^2}{1+\sqrt{1+t^2}}}\to -\mathrm{\infty }$$ である。したがって $$\underset{t\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(t)}{g(t)}}=0$$ である。

ii) $t\to +\mathrm{\infty }$ のとき $${\displaystyle \frac{f(t)}{t}}={\displaystyle \frac{\sqrt{1+t^2}}{1+\sqrt{1+t^2}}}\to 1$$ である。また$${\displaystyle \frac{1}{t}}\cdot {\displaystyle \frac{t^2}{1+\sqrt{1+t^2}}}={\displaystyle \frac{t}{1+\sqrt{1+t^2}}}\to 1$$であり、${\displaystyle \frac{\log t}{t}}\to 0$ である。したがって ${\displaystyle \frac{g(t)}{t}}\to 1$ となる。よって $$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(t)}{g(t)}}=1$$ である。

$x=0$ への半径と、$\log x$ の法線上の半径を同時に使う

中心を $(r,s)$、半径を $r$ とした円の方程式へ、
接点 $(t,\log t)$ を代入する。さらに円を暗黙に微分して、
その点での傾きが $1\mathrm{/}t$ である条件を加える。法線を先に
持ち出さず、2本の代数方程式から中心を決める。

円は $x=0$ に接しているから、中心を $(r,s)$ とすれば
半径は $r>0$ であり、円の方程式は$$(x-r{)}^2+(y-s{)}^2=r^2$$である。接点 $Q=(t,\log t)$ を代入すると$$\begin{array}{cccc}& (t-r{)}^2+(\log t-s{)}^2=r^2\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$円の方程式を暗黙に微分すると$$y^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{x-r}{y-s}}\mathrm{.}$$$Q$ で $y=\log x$ と共通接線をもち、その傾きは
$1\mathrm{/}t$ だから$$\begin{array}{cccc}& {\displaystyle \frac{1}{t}}=-{\displaystyle \frac{t-r}{\log t-s}},s=\log t+t(t-r)\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(2)を(1)へ代入すると$$(t-r{)}^2(1+t^2)=r^2\mathrm{.}$$円が $x=0$ と曲線の間にあるため $0<r<t$ である。よって$$(t-r)\sqrt{1+t^2}=r$$であり、$$f(t)=r={\displaystyle \frac{t\sqrt{1+t^2}}{1+\sqrt{1+t^2}}}\mathrm{.}$$また(2)から$$g(t)=s=\log t+{\displaystyle \frac{t^2}{1+\sqrt{1+t^2}}}\mathrm{.}$$$t\to 0+$ では $f(t)\to 0$、$g(t)\to -\mathrm{\infty }$ だから$${\displaystyle \underset{t\to 0+}{\lim }{\displaystyle \frac{f(t)}{g(t)}}=0}\mathrm{.}$$また $t\to +\mathrm{\infty }$ では$${\displaystyle \frac{f(t)}{t}}\to 1,{\displaystyle \frac{g(t)}{t}}={\displaystyle \frac{\log t}{t}}+{\displaystyle \frac{t}{1+\sqrt{1+t^2}}}\to 1.$$したがって$${\displaystyle \underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{f(t)}{g(t)}}=1}\mathrm{.}$$