東京大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

点 $P,Q$ の $x$ 座標をそれぞれ $p,q$ とする。曲線の式から接線 $l$ の式を引いた三次式は、$x=p$ を二重根、$x=q$ を単根にもつ。最高次係数は1だから$$C-l=(x-p{)}^2(x-q)\mathrm{.}$$$d=\mathrm{\mid }q-p\mathrm{\mid }$ とおくと、囲まれた面積は向きによらず$${\int }_0^d{u}^2(d-u)du={[{\displaystyle \frac{d{u}^3}{3}}-{\displaystyle \frac{u^4}{4}}]}_0^d={\displaystyle \frac{d^4}{12}}\mathrm{.}$$上の因数分解で $x^2$ の係数を比べると$$2p+q=-a\mathrm{.}$$接点を $Q$ に替え、接線 $m$ のもう一つの交点の $x$ 座標を $r$ とすれば、同様に$$2q+r=-a\mathrm{.}$$両式から$$r-q=-2(q-p)$$である。したがって2つ目の囲まれた部分の横幅は $2d$、その面積は$${\displaystyle \frac{(2d{)}^4}{12}}=16\cdot {\displaystyle \frac{d^4}{12}}\mathrm{.}$$よって、$l$ による面積と $m$ による面積の比は$$1:16$$である。この値は $a,b,c,p,q$ によらない。

接点を一つ進めると横幅が $d$ から $2d$ へ変わる

横軸を $a\mathrm{/}3$ だけ移すと、曲線は $Y=X^3+kX$ の形になる。接点を $X=s$ としたとき、曲線と接線との差を直接展開して再交点を $-2s$ と求める。次の接点では再交点が $4s$ となり、横幅の比が直ちに2と分かる。

$$X=x+{\displaystyle \frac{a}{3}}$$ とおき、縦方向にも定数だけ平行移動すると、曲線は$$Y=X^3+kX$$の形になる。平行移動は囲まれた面積を変えない。

接点の $X$ 座標を $s$ とする。この点での接線との差は$$X^3+kX-\{s^3+ks+(3s^2+k)(X-s)\}=(X-s{)}^2(X+2s)\mathrm{.}$$よって、もう一つの交点は $X=-2s$ であり、最初の横幅は $3\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }$ である。

次に $X=-2s$ を接点とすれば、同じ式で新しい再交点は$$-2(-2s)=4s$$である。したがって次の横幅は $6\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }$、すなわち最初の2倍になる。

一般に横幅 $D$ のとき、曲線と接線との差は平行移動後に $u^2(D-u)$ となるので、面積は$${\int }_0^D{u}^2(D-u)du={\displaystyle \frac{D^4}{12}}\mathrm{.}$$したがって面積比は$$(3\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }{)}^4:(6\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }{)}^4=1:16.$$平行移動前の係数に依存しないので、この比は一定である。