東京大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

方程式 $x^4+a{x}^2+b=0$ は $x$ を $-x$ に替えても変わらない。したがって、正の解を $u>v>0$ とすると、4つの解は $-u,-v,v,u$ である。

大きい正の解 $u$ について、近似値 $3.42$ の誤差は0.05以下なので $3.37\leqq u\leqq \mathrm{3.47.}$ また、近似値 $-3.45$ は $-u$ に対応するので $3.40\leqq u\leqq \mathrm{3.50.}$ これらを合わせて $3.40\leqq u\leqq 3.47$ である。

小さい正の解 $v$ について、近似値 $0.54$ から $0.49\leqq v\leqq 0.59$ であり、近似値 $-0.61$ から $0.56\leqq v\leqq 0.66$ である。よって $0.56\leqq v\leqq 0.59$ である。

ここで $X=x^2$ とおくと $X^2+aX+b=0$ であり、その二つの解は $u^2,v^2$ である。したがって $$u^2+v^2=-a,u^2{v}^2=b$$ である。$a,b$ は整数なので、$-a$ と $b$ も整数である。

上の範囲から $${3.40}^2+{0.56}^2\leqq u^2+v^2\leqq {3.47}^2+{0.59}^2\mathrm{.}$$ つまり $$11.8736\leqq u^2+v^2\leqq \mathrm{12.389.}$$ この範囲にある整数は12だけなので $$u^2+v^2=12,a=-12.$$ また $${3.40}^2\cdot {0.56}^2\leqq u^2{v}^2\leqq {3.47}^2\cdot {0.59}^2$$ より $$3.625216\leqq u^2{v}^2\leqq 4.191481$$ である。この範囲にある整数は4だけなので $b=4.$ よって $X^2-12X+4=0$ を解けばよい。解は $X=6\pm 4\sqrt{2}$ である。したがって真の解は $$x=\pm \sqrt{6+4\sqrt{2}},x=\pm \sqrt{6-4\sqrt{2}}\mathrm{.}$$ 小数に直すと $$\sqrt{6+4\sqrt{2}}=3.414\cdots ,\sqrt{6-4\sqrt{2}}=0.585\cdots$$ である。よって小数第2位まで正しく求めると $-3.41,-0.59,0.59,3.41$ である。

正の大きい解を $u$、小さい解を $v$ とする。まず積 $u^2{v}^2=b$ の範囲だけで $b$ を決定し、次に1本の解が満たす式から整数 $a$ を絞る。

対称性と誤差範囲から、正の2解 $u>v>0$ は$$3.40\leqq u\leqq 3.47,0.56\leqq v\leqq 0.59$$を満たす。$X=x^2$ とおけば、$u^2,v^2$ は$$X^2+aX+b=0$$の2解である。したがって$$b=u^2{v}^2\mathrm{.}$$評価すると$${3.40}^2\cdot {0.56}^2\leqq b\leqq {3.47}^2\cdot {0.59}^2,$$すなわち$$3.625216\leqq b\leqq \mathrm{4.191481.}$$$b$ は整数なので $b=4$ である。

大きい解 $u$ について$$u^4+a{u}^2+4=0$$だから$$-a=u^2+{\displaystyle \frac{4}{u^2}}\mathrm{.}$$$t+4\mathrm{/}t$ は $t>2$ で増加するので$${3.40}^2+{\displaystyle \frac{4}{{3.40}^2}}\leqq -a\leqq {3.47}^2+{\displaystyle \frac{4}{{3.47}^2}}\mathrm{.}$$左辺は $11.90\dots$、右辺は $12.37\dots$ であり、$-a$ は整数だから $-a=12$ である。よって$$x^4-12x^2+4=0.$$$X=x^2$ として解くと $X=6\pm 4\sqrt{2}$。したがって、小数第2位までの4解は$$-3.41,-0.59,0.59,3.41\mathrm{.}$$